如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱．（１）求三棱锥的体积；（２）求直线与平面...

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如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱．

（１）求三棱锥的体积；

（２）求直线与平面所成角的正弦值；

（３）若棱上存在一点，使得，当二面角的大小为时，求实数的值．

【解析】（1）在中，

. （3’）

（2）以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

（4’）

,设平面的法向量为，

由得，（5’）

则，

. （7’）

（3）

设平面的法向量为，由得，（10’）

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如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱．
（１）求三棱锥的体积；
（２）求直线与平面所成角的正弦值；
（３）若棱上存在一点，使得，当二面角的大小为时，求实数的值．
【解析】（1）在中，
.                 （3’）
（2）以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则
       （4’）
,设平面的法向量为，
由得，                                             （5’）
则，
. （7’）
（3）
设平面的法向量为，由得，      （10’）

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如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱锥C-A₁B₁C₁的体积V；
（Ⅱ）求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若棱AA₁上存在一点P，使得=λ，
当二面角A-B₁C₁-P的大小为30°时，求实数λ的值．

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如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱锥C-A₁B₁C₁的体积V；
（Ⅱ）求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若棱AA₁上存在一点P，使得=λ，
当二面角A-B₁C₁-P的大小为30°时，求实数λ的值．

高三数学解答题中等难度题查看答案及解析
如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱锥C-A₁B₁C₁的体积V；
（Ⅱ）求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若棱AA₁上存在一点P，使得=λ，
当二面角A-B₁C₁-P的大小为30°时，求实数λ的值．

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如图，四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（I）求三棱柱C-A₁B₁C₁的体积V；
（II）求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值．

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（本小题满分12分）如图三棱柱中，底面侧面为等边三角形，且AB=BC，三棱锥的体积为
（I）求证：；
（II）求直线与平面BAA₁所成角的正弦值.

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如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，是的中点，是线段上异于端点的一点，平面平面，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若与平面所成的角的正弦值为，求四棱锥的体积.

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（本小题满分12分）
如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

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如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，平面交于点，且平面.
（1）求证：；
（2）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.

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如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，，且，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

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