已知抛物线的焦点为曲线的一个焦点, 为坐标原点,点为抛物线上任意一点,过点作轴的平行线交抛物线的准线于,直线交抛物线于点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)若、、三个点满足,求直线的方程.
高三数学解答题中等难度题
已知抛物线的焦点曲线的一个焦点, 为坐标原点,点为抛物线上任意一点,过点作轴的平行线交抛物线的准线于,直线交抛物线于点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)求证:直线过定点,并求出此定点的坐标.
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已知抛物线的焦点曲线的一个焦点, 为坐标原点,点为抛物线上任意一点,过点作轴的平行线交抛物线的准线于,直线交抛物线于点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)求证:直线过定点,并求出此定点的坐标.
【答案】(I);(II)证明见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)将曲线化为标准方程,可求得的焦点坐标分别为,可得,所以,即抛物线的方程为;(Ⅱ)结合(Ⅰ),可设,得,从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得,解得,直线的方程为,整理得的方程为,此时直线恒过定点.
(Ⅰ)由曲线,化为标准方程可得, 所以曲线是焦点在轴上的双曲线,其中,故, 的焦点坐标分别为,因为抛物线的焦点坐标为,由题意知,所以,即抛物线的方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知抛物线的准线方程为,设,显然.故,从而直线的方程为,联立直线与抛物线方程得,解得
①当,即时,直线的方程为,
②当,即时,直线的方程为,整理得的方程为,此时直线恒过定点, 也在直线的方程为上,故直线的方程恒过定点.
【题型】解答题
【结束】
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已知函数,
(Ⅰ)当时,求函数的单调递减区间;
(Ⅱ)若时,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若数列满足, ,记的前项和为,求证: .
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已知抛物线的焦点为曲线的一个焦点, 为坐标原点,点为抛物线上任意一点,过点作轴的平行线交抛物线的准线于,直线交抛物线于点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)若、、三个点满足,求直线的方程.
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设抛物线的焦点为,准线为, ,已知以为圆心, 为半径的圆交于两点;
(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;
(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值.
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设抛物线的焦点为,准线为, ,已知以为圆心, 为半径的圆交于两点;
(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;
(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值.
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设抛物线:(>0)的焦点为,准线为,为上一点,已知以为圆心,为半径的圆交于,两点.
(Ⅰ)若,的面积为,求的值及圆的方程;
(Ⅱ)若,,三点在同一条直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到,距离的比值.
【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识,考查数形结合思想和运算求解能力.
【解析】设准线于轴的焦点为E,圆F的半径为,
则|FE|=,=,E是BD的中点,
(Ⅰ) ∵,∴=,|BD|=,
设A(,),根据抛物线定义得,|FA|=,
∵的面积为,∴===,解得=2,
∴F(0,1), FA|=, ∴圆F的方程为:;
(Ⅱ) 解析1∵,,三点在同一条直线上, ∴是圆的直径,,
由抛物线定义知,∴,∴的斜率为或-,
∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,
设直线的方程为:,代入得,,
∵与只有一个公共点, ∴=,∴,
∴直线的方程为:,∴原点到直线的距离=,
∴坐标原点到,距离的比值为3.
解析2由对称性设,则
点关于点对称得:
得:,直线
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(本小题满分12分)
已知双曲线:的左焦点为,左准线与轴的交点是圆的圆心,圆恰好经过坐标原点,设是圆上任意一点.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若直线与直线交于点,且为线段的中点,求直线被圆所截得的弦长;
(Ⅲ)在平面上是否存在定点,使得对圆上任意的点有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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已知椭圆,抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,每条曲线上取两个点,将其坐标记录于表中:
(1)求,的标准方程;
(2)设斜率不为0的动直线与有且只有一个公共点,且与的准线交于,试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
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