数列中，如果存在，使得“且”成立（其中， ），则称的值为数列的一个谷值．①若，则的谷值为_...

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记.（1）（1）求数列与数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由．

（3）记，设数列的前项和为，求证：对于都有

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函数满足：对任意，都有，且，数列满足，

（1）求数列的通项公式；

（2）令，，记，问：是否存在正整数，使得当时，不等式恒成立？若存在，写出一个满足条件的，若不存在，请说明理由.

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数列中，如果存在，使得“且”成立（其中， ），则称的值为数列的一个谷值．

①若，则的谷值为__________；

②若，且数列不存在谷值，则实数的取值范围是__________．

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数列满足：，给出下述命题：

①若数列满足：，则成立；

②存在常数，使得成立；

③若（其中），则；

④存在常数，使得都成立．

上述命题正确的是________．（写出所有正确结论的序号）

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设是公比为正整数的等比数列，是等差数列，且，，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设数列的前项和为.

①试求最小的正整数，使得当时，都有成立；

②是否存在正整数 ，使得成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.

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数列满足：，对任意有成立.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）设数列的前项和为，通项公式为，若对任意的存在，使得成立，则称数列为“”型数列. 已知为偶数，试探求的一切可能值，使得数列是“”型数列.

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已知数列的前项和为,且。数列满足，

且，。

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；

（3）设，是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

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设数列的通项公式为. 数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有n中的最小值.

（1）若，求；

(2）若，求数列的前项和公式；

（3）是否存在和,使得？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由.

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设数列的通项公式为（， ），数列定义如下：对于正整数， 是使得不等式成立的所有中的最小值.

（1）若， ，求；

（2）若， ，求数列的前项和公式；

（3）是否存在和，使得 ？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由.

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已知数列前项和（），数列等差，且满足，前9项和为153.

（1）求数列、的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求及使不等式对一切都成立的最小正整数的值；

（3）设，问是否存在，使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.

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