观察下列式子的因式分解做法:
①
②x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x(x2﹣1)+x﹣1
=x(x﹣1)(x+1)+(x﹣1)
=(x﹣1)[x(x+1)+1]
=(x﹣1)(x2+x+1)
③x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x(x3﹣1)+x﹣1
=x(x﹣1)(x2+x+1)+(x﹣1)
=(x﹣1)[x(x2+x+1)+1]
=(x﹣1)(x3+x2+x+1)
…
(1)模仿以上做法,尝试对x5﹣1进行因式分解;
(2)观察以上结果,猜想xn﹣1= ;(n为正整数,直接写结果,不用验证)
(3)根据以上结论,试求45+44+43+42+4+1的值.
八年级数学解答题困难题
观察下列式子的因式分解做法:
①
②x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x(x2﹣1)+x﹣1
=x(x﹣1)(x+1)+(x﹣1)
=(x﹣1)[x(x+1)+1]
=(x﹣1)(x2+x+1)
③x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x(x3﹣1)+x﹣1
=x(x﹣1)(x2+x+1)+(x﹣1)
=(x﹣1)[x(x2+x+1)+1]
=(x﹣1)(x3+x2+x+1)
…
(1)模仿以上做法,尝试对x5﹣1进行因式分解;
(2)观察以上结果,猜想xn﹣1= ;(n为正整数,直接写结果,不用验证)
(3)根据以上结论,试求45+44+43+42+4+1的值.
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下列式子从左到右变形是因式分解的是( )
A. 12xy2=3xy•4y B. (x+1)(x+2)=x2﹣2x﹣3
C. x2﹣4x+1=x(x﹣4)+1 D. x3﹣x=x(x+1)(x﹣1)
八年级数学单选题中等难度题查看答案及解析
探究题:
观察下列式子:(x2-1)÷(x-1)=x+1;
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1;
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1;
(x5-1)÷(x-1)=x4+x3+x2+x+1;
(1)你能得到一般情况下的结果吗?(n为正整数)
(2)根据(1)的结果计算:1+2+22+23+24+…+262+263.
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阅读下列材料:
在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.
下面是小涵同学用换元法对多项式(x2﹣4x+1)(x2﹣4x+7)+9进行因式分解的过程.
【解析】
设x2﹣4x=y
原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2﹣4x+4)2(第四步)
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的 ;
A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果: ;
(3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解.
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分解因式,细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了.过程为:这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决下列问题:
(1)分解因式:;
(2)△ABC三边,,满足,判断△ABC的形状.
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分解因式x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式,过程为:x2-4y2-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).这种分解因式的方法叫分组分解法,利用这种方法解决下列问题:
(1)分解因式:a2-4a-b2+4;
(2)若△ABC三边a、b、c满足a2-ab-ac+bc=0,试判断△ABC的形状.
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常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程为:
==
这种分解因式的方法叫分组分解法。利用这种方法解决下列问题:
(1)分解因式: ①;②2x﹣2y﹣x2+y2
(2)三边a,b,c 满足,判断的形状.
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常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如x2﹣4y2﹣2x+4y,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了,过程为:x2﹣4y2﹣2x+4y=(x+2y)(x﹣2y)﹣2(x﹣2y)=(x﹣2y)(x+2y﹣2),这种分解因式的方法叫分组分解法,利用这种方法解决下列问题.
(1)分解因式:x2+2xy+y2;
(2)分解因式:a2﹣9﹣2ab+b2;
(3)△ABC三边a、b、c满足a2﹣4bc+4ac﹣ab=0,判断△ABC的形状.
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常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法,但有更多的多项式只用上述方法就无法分解,如,我们细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了。过程为:
==
这种分解因式的方法叫分组分解法。利用这种方法解决下列问题:
(1)分解因式;
(2)三边a,b,c 满足,判断的形状。
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常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解,如x2﹣2xy+y2﹣16,我们细心观察这个式子,会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合,再应用平方差公式进行分解.过程如下:x2﹣2xy+y2﹣16=(x﹣y)2一16=(x﹣y+4)(x﹣y﹣4)
这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种分组的思想方法解决下列问题:
(1)9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn;
(2)已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a(b+c)=0,请判断△ABC的形状,并说明理由.
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