如图，在三棱柱中，，，．（1）证明：点在底面上的射影必在直线上；（2）若二面角的大小为，，...

如图，在三棱柱中，，，．

（1）证明：点在底面上的射影必在直线上；

（2）若二面角的大小为，，求与平面所成角的正弦值．

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如图，在底面是正方形的四棱锥中，，点在底面的射影恰是的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值大小.

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必做题, 本小题10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点B，且．

（1）求棱与BC所成的角的大小；

（2）在棱上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值．

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(本题满分12分)

已知斜三棱柱的各棱长均为2， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面.

（1）证明：点在平面上的射影为的中点；

（2）求二面角的大小 ；

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如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，，.

（1）证明：；

（2）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.

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如图，四棱柱的底面为菱形， ， ， 为中点.

（1）求证： 平面；

（2）若底面，且直线与平面所成线面角的正弦值为，求的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

【解析】试题分析：（1）设为的中点，根据平几知识可得四边形是平行四边形，即得，再根据线面平行判定定理得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面一个法向量，根据向量数量积求向量夹角，再根据线面角与向量夹角互余关系列等式，解得的长.

（1）证明：设为的中点，连

因为，又，所以 ，

所以四边形是平行四边形，

所以

又平面， 平面，

所以平面.

（2）因为是菱形，且，

所以是等边三角形

取中点，则，

因为平面，

所以，

建立如图的空间直角坐标系，令，

则， ， ， ，

， ， ，

设平面的一个法向量为，

则且，

取，设直线与平面所成角为，

则，

解得，故线段的长为2.

【题型】解答题
【结束】
20

椭圆:的左、右焦点分别为、，若椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆的左、右顶点， （）为椭圆上一动点，设直线分别交直线： 于点，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.

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在三棱柱中，侧面底面，，且侧面为菱形.

证明：平面；

若，，直线与底面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

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（本小题满分12分）

如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，D是AC的中点。

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求直线与平面所成的角的正弦值．

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如图，四棱锥的底面为矩形，，，点在底面上的射影在上，是的中点.

（I）证明：平面；

（II）若，且与面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值.

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