平面上有三点、、,若,则称点、为点的等距点.
问题探究:(1)如图①,在中,,点为上一点,试在上确定一点,使点、为点的等距点;
(2)如图②,平行四边形的对角线、交于点,点是边上一定点,试在边上找点,使点、为点的等距点,并说明理由.
问题解决:(3)如图③,在正方形中,,点是对角线上一动点,在边上是否存在点,使点、为点的等距点,同时使四边形的面积为正方形面积的一半?若存在这样的点,求出的长;若不存在,说明理由.
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给出如下规定:两个图形G1和G2,点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.
在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点.
(1)点A的坐标为,则点和射线OA之间的距离为________,点 和射线OA之间的距离为________;
(2)如果直线y=x+1和双曲线之间的距离为,那么k= ;(可在图1中进行研究)
(3)点E的坐标为(1,),将射线OE绕原点O顺时针旋转120,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.
①请在图2中画出图形M,并描述图形M的组成部分;(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示).
②将射线OE,OF组成的图形记为图形W,直线y=-2x-4与图形M的公共部分记为图形N,请求出图形W和图形N之间的距离.
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如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,AB=50,AC=30,D、E、F分别是AC、AB、BC的中点.点P从点D出发沿折线DE—EF—FC—CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK⊥AB,交折线BC—CA于点G.点P、Q同时出发,当点P绕行一周回到点D时停止运动,点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)D、F两点间的距离是 ;
(2)射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分?若能,求出t的值.若不能,说明理由;
(3)当点P运动到折线EF—FC上,且点P又恰好落在射线QK上时,求t的值;
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如图1,在平面直角坐标系中,直线l与x轴、y轴分别交于点B(4,0)、C(0,3),点A为x轴负半轴上一点,AM⊥BC于点M交y轴于点N,满足4CN=5ON.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)连接AC,点D在线段BC上方的抛物线上,连接DC、DB,若△BCD和△ABC面积满足S△BCD=S△ABC,求点D的坐标;
(3)如图2,E为OB中点,设F为线段BC上一点(不含端点),连接EF.一动点P从E出发,沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止.若点P在整个运动过程中用时最少,请直接写出最少时间和此时点F的坐标.
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文昌某校准备组织学生及学生家长到三亚进行社会实践,为了便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,文昌到三亚的火车票价格(部分)如下表所示:
运行区间 | 公布票价 | 学生票 | ||
上车站 | 下车站 | 一等座 | 二等座 | 二等座 |
文昌 | 三亚 | 81(元) | 68(元) | 51(元) |
(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?
(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买m张(m小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)w与m之间的函数关系式.
(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买一个单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?
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已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD.求证:EF=AD.
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在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A,B,顶点为C,将抛物线在A,C,B之间的部分记为图象E(A,B两点除外).
(1)求抛物线的顶点坐标.
(2)AB=6时,经过点C的直线y=kx+b(k≠0)与图象E有两个交点,结合函数的图象,求k的取值范围.
(3)若横、纵坐标都是整数的点叫整点.
①当m=1时,求线段AB上整点的个数;
②若抛物线在点A,C,B之间的图象E与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.
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如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0),其对称轴与x轴交于点M.
(1)求此抛物线的解析式和对称轴;
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC,在直线AC下方的抛物线上,是否存在一点N,使△NAC的面积最大?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
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如图,AB为⊙O的弦,AB=8,OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,且CD=l ,求⊙O的半径.
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如图,已知点O (0,0),A (-5,0),B (2,1),抛物线(h为常数)与y轴的交点为C。
(1) 抛物线经过点B,求它的解析式,并写出此时抛物线的对称轴及顶点坐标;
(2)设点C的纵坐标为,求的最大值,此时抛物线上有两点,,其中,比较与的大小;
(3)当线段OA被只分为两部分,且这两部分的比是1:4时,求h的值。
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