已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当,为两个不相等的正数,证明:.
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已知函数
讨论函数的单调性;
设,若不相等的两个正数满足,证明:.
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已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)当,为两个不相等的正数,证明:.
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已知函数(, 为常数).
(1)讨论函数的单调性;
(2)对任意两个不相等的正数、,求证:当时, .
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已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)当函数有两个不相等的零点时,证明: .
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已知函数在上不具有单调性.
(1)求实数的取值范围;
(2)若是的导函数,设,试证明:对任意两个不相等正数,不等式恒成立.
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已知.
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,恒成立;
(3)任取两个不相等的正数,且,若存在使成立,证明:.
【解析】(1)g(x)=lnx+,= (1’)
当k0时,>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+),无减区间;
当k>0时,>0,得x>k;<0,得0<x<k∴增区间(k,+)减区间为(0,k)(3’)
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时,h(x),的变化情况如表
x | 1 | (1,e) | e | (e,+) |
- | 0 | + | ||
h(x) | e-2 | ↘ | 0 | ↗ |
所以h(x)0, ∴f(x)2x-e (5’)
设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1 ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’) 设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x
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