正方体中，与平面所成角的余弦值A． B． C． D．

（本小题满分10分）

如图，在棱长为3的正方体中，.

⑴求两条异面直线与所成角的余弦值；

⑵求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

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如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点．

（1）求异面直线和所成的角的余弦值；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

（3）若点在正方形内部或其边界上，且平面，求的最大值、最小值．

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（本题满分16分）

如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点．

（1）求异面直线和所成的角的余弦值；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

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如图，在正方体中，点是的中点．

(1) 求与所成的角的余弦值；

(2) 求直线与平面所成的角的余弦值．

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如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

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如图，在正方体中， 分别是棱的中点， 为棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为.

（1）证明： 为的中点；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨令正方体的棱长为2，设，利用，解得，即可证得；

（2）分别求得平面与平面的法向量，利用求解即可.

（1）证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨令正方体的棱长为2，

则， ， ， ， ，

设，则， ，

所以 ，

所以，解得（舍去），即为的中点.

（2）【解析】
由（1）可得， ，

设是平面的法向量，

则.令，得.

易得平面的一个法向量为，

所以.

所以所求锐二面角的余弦值为.

点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

【题型】解答题
【结束】
22

已知椭圆的短轴长为2，且椭圆过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线过定点，且斜率为，若椭圆上存在两点关于直线对称， 为坐标原点，求的取值范围及面积的最大值.

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如图，在边长为2的正方体中，是的中点，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

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正方体中，为的中点.

（1）请在线段上确定一点F使四点共面，并加以证明；

（2）求二面角的平面角的余弦值；

（3）点M在面内，且点M在平面上的射影恰为的重心，求异面直线与所成角的余弦值.

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如图，正方体的顶点在平面上，若和与平面都成角，则与平面所成角的余弦值为______．

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在正方体中

Ⅰ求证：平面ABCD；

Ⅱ求二面角的平面角的余弦值．

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