高三数学解答题中等难度题
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在四棱锥中,平面,底面为矩形,.
(Ⅰ)当时,求证:;
(Ⅱ)若边上有且只有一个点,使得,求此时二面角的余弦值.
【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时,底面ABCD为正方形,
又因为,………………2分
又,得证。
第二问,建立空间直角坐标系,则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分
设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》
要使,只要
所以,即………6分
由此可知时,存在点Q使得
当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得
由此知道a=2, 设平面POQ的法向量为
,所以 平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
【解析】
(Ⅰ)当时,底面ABCD为正方形,
又因为,又………………3分
(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直,分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系,如图所示,
则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分
设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要
所以,即………6分
由此可知时,存在点Q使得
当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得由此知道a=2,
设平面POQ的法向量为
,所以 平面PAD的法向量
则的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以
因此二面角A-PD-Q的余弦值为
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我们知道:周长一定的所有矩形中,正方形的面积最大;周长一定的所有矩形与圆中,圆的面积最大.将这些结论类比到空间,可以得到的结论是________.
高三数学填空题中等难度题查看答案及解析
如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.
(1)证明:底面;
(2)若,求二面角的余弦值.
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如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.
(1)证明:底面;
(2)若,求二面角的余弦值.
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