已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,计算的导数.
【答案】(1).(2).
【解析】试题分析:(1)由导数的基本定义就出斜率,根据点斜式写出切线方程;(2), .
(1),则,
又,∴所求切线方程为,即.
(2), .
【题型】解答题
【结束】
18
对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
(1)求出表中及图中的值;
(2)若该校高一学生有800人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间内的人数.
高二数学解答题简单题
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,计算的导数.
【答案】(1).(2).
【解析】试题分析:(1)由导数的基本定义就出斜率,根据点斜式写出切线方程;(2), .
(1),则,
又,∴所求切线方程为,即.
(2), .
【题型】解答题
【结束】
18
对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
(1)求出表中及图中的值;
(2)若该校高一学生有800人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间内的人数.
高二数学解答题简单题查看答案及解析
已知曲线在点处的切线为,其中.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求证:直线和曲线一定有两个不同的公共点.
【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(I)求出函数的导数,分别求出,,即可求得直线的方程;(Ⅱ)联立直线与曲线的方程,令,利用导数研究函数的单调性,即可判断函数零点的个数,从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.
(I)因为
所以直线的斜率
所以直线的方程为
化简得到
(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得
所以
所以
令
所以,
令,得到得,
当时,的变化情况如下表
0 | 0 | ||||
极大 | 极小 |
因为时,,而
(或者说:时,),
所以在上有一个零点
而时,,所以在上只有一个零点
又在上没有零点
所以只有两个不同的零点,即直线和曲线有两个不同的公共点.
【题型】解答题
【结束】
18
已知函数,其中常数.
(Ⅰ)若函数为单调函数,求实数的最大值;
(Ⅱ)如果函数只有一个零点,求实数的取值范围.
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已知曲线在点处的切线为,其中.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求证:直线和曲线一定有两个不同的公共点.
【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(I)求出函数的导数,分别求出,,即可求得直线的方程;(Ⅱ)联立直线与曲线的方程,令,利用导数研究函数的单调性,即可判断函数零点的个数,从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.
(I)因为
所以直线的斜率
所以直线的方程为
化简得到
(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得
所以
所以
令
所以,
令,得到得,
当时,的变化情况如下表
0 | 0 | ||||
极大 | 极小 |
因为时,,而
(或者说:时,),
所以在上有一个零点
而时,,所以在上只有一个零点
又在上没有零点
所以只有两个不同的零点,即直线和曲线有两个不同的公共点.
【题型】解答题
【结束】
18
已知函数,其中常数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)如果函数没有零点,求实数的取值范围.
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已知函数在点处的切线方程为.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调区间和极值.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据导数几何意义得,再与联立方程组解得, (2)先函数导数,再求导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,进而确定单调区间和极值
(1),切线为,即斜率,纵坐标
即, ,解得,
解析式
(2) ,定义域为
得到在单增,在单减,在单增
极大值,极小值.
【题型】解答题
【结束】
20
如图:在四棱锥中,底面为菱形,且, 底面,
, , 是上点,且平面.
(1)求证: ;(2)求三棱锥的体积.
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已知函数在处的切线经过点
(1)讨论函数的单调性;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)在单调递减;(2)
【解析】试题分析: (1)利用导数几何意义,求出切线方程,根据切线过点,求出函数的解析式; (2)由已知不等式分离出,得,令,求导得出 在 上为减函数,再求出的最小值,从而得出的范围.
试题解析:(1)
令∴
∴ 设切点为
代入
∴
∴
∴在单调递减
(2)恒成立
令
∴在单调递减
∵
∴
∴在恒大于0
∴
点睛: 本题主要考查了导数的几何意义以及导数的应用,包括求函数的单调性和最值,属于中档题. 注意第二问中的恒成立问题,等价转化为求的最小值,直接求的最小值比较复杂,所以先令,求出在 上的单调性,再求出的最小值,得到的范围.
【题型】解答题
【结束】
22
已知是椭圆的两个焦点, 为坐标原点,圆是以为直径的圆,一直线与圆相切并与椭圆交于不同的两点.
(1)求和关系式;
(2)若,求直线的方程;
(3)当,且满足时,求面积的取值范围.
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已知函数 R).
(Ⅰ)若 ,求曲线 在点 处的的切线方程;
(Ⅱ)若 对任意 恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。
第一问中,利用当时,.
因为切点为(), 则,
所以在点()处的曲线的切线方程为:
第二问中,由题意得,即即可。
Ⅰ)当时,.
,
因为切点为(), 则,
所以在点()处的曲线的切线方程为:. ……5分
(Ⅱ)解法一:由题意得,即. ……9分
(注:凡代入特殊值缩小范围的均给4分)
,
因为,所以恒成立,
故在上单调递增, ……12分
要使恒成立,则,解得.……15分
解法二: ……7分
(1)当时,在上恒成立,
故在上单调递增,
即. ……10分
(2)当时,令,对称轴,
则在上单调递增,又
① 当,即时,在上恒成立,
所以在单调递增,
即,不合题意,舍去
②当时,, 不合题意,舍去 14分
综上所述:
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已知抛物线: 在点处的切线与曲线: 相切,若动直线分别与曲线、相交于、两点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
,令
,选D
点睛:利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用或求单调区间;第二步:解得两个根;第三步:比较两根同区间端点的大小;第四步:求极值;第五步:比较极值同端点值的大小.
【题型】单选题
【结束】
13
已知椭圆的左、右焦点分别为和,且其图像过定点,则的离心率_________.
高二数学填空题中等难度题查看答案及解析
设函数在处取得极值,且曲线在点处的切线垂直于直线.
(Ⅰ) 求的值;
(Ⅱ)求曲线和直线所围成的封闭图形的面积;
(Ⅲ)设函数,若方程有三个不相等的实根,求的取值范围.
【解析】本试题主要考查了导数的运用。利用导数求解曲边梯形的面积,以及求解函数与方程的根的问题的综合运用。
高二数学解答题简单题查看答案及解析
已知直线为曲线在点处的切线,直线是该曲线的另一条切线,且。
(1)求直线和的方程。
(2)求直线、与x轴围成的三角形的面积。
【解析】本试题主要考查了导数的几何意义的运用,求解切线方程以及运用三角形的面积公式的综合运用试题。
高二数学解答题简单题查看答案及解析
已知直线为曲线在点处的切线,直线是该曲线的另一条切线,且。
(1)求直线和的方程。
(2)求直线、与x轴围成的三角形的面积。
【解析】本试题主要考查了导数的几何意义的运用,求解切线方程以及运用三角形的面积公式的综合运用试题。
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