设是自然对数的底数，我们常常称恒成立不等式（，当且仅当时等号成立)为“灵魂不等式”，它在处...

设是自然对数的底数，我们常常称恒成立不等式（，当且仅当时等号成立)为“灵魂不等式”，它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用.

（1）试证明这个不等式；

（2）设函数，若在内恒成立，求实数的值.

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已知函数其中为自然对数的底数， .(Ⅰ)设，求函数的最值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求的取值范围.

【解析】第一问中，当时，，．结合表格和导数的知识判定单调性和极值，进而得到最值。

第二问中，∵，，

∴原不等式等价于：,

即, 亦即

分离参数的思想求解参数的范围

【解析】
（Ⅰ)当时，，．

当在上变化时，，的变化情况如下表：

∴时，，．

(Ⅱ)∵，，

∴原不等式等价于：,

即, 亦即．

∴对于任意的，原不等式恒成立,等价于对恒成立,

∵对于任意的时, （当且仅当时取等号）．

∴只需，即，解之得或.

因此，的取值范围是

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已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（Ⅲ）求证：（，e是自然对数的底数）.

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已知函数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（Ⅲ）求证：（，e是自然对数的底数）.

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已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

（Ⅲ）求证：（，e是自然对数的底数）.

提示：

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已知函数 （为自然对数的底数）．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）证明：当时， 不等式成立.

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已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数， ， 为自然对数的底数.当时，若， ，不等式成立，求的最大值.

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已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）设函数，，为自然对数的底数.当时，若，，不等式成立，求的最大值..

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已知函数（, 是自然对数的底数）.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

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已知函数（,是自然对数的底数）.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

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