在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：，请根据上面数字的排列规律，...

在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：；； ； ，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果：____.

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在探究“杨辉三角”中的一些秘密时，小明同学发现了一组有趣的数：，请根据上面数字的排列规律，写出下一组的规律并计算其结果：_____．

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下图是一个按照某种规律排列出来的三角形数阵

假设第行的第二个数为

（1）依次写出第七行的所有7个数字(不必说明理由);

（2）写出与的递推关系(不必证明),并求出的通项公式.

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下图是一个按照某种规律排列出来的三角形数阵

假设第行的第二个数为

（1）依次写出第六行的所有6个数字(不必说明理由);

（2）写出与的递推关系(不必证明),并求出的通项公式

（3）设,求证:.

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等比数列的首项为，公比为，用表示这个数列的第n项到第m项共项的和．

（Ⅰ）计算，，，并证明它们仍成等比数列；

（Ⅱ）受上面（Ⅰ）的启发，你能发现更一般的规律吗？写出你发现的一般规律，并证明．

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某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．

（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

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某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:

①；

②；

③；

④；

⑤；

(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

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德国数学家莱布尼兹发现了上面的单位分数三角形，称为莱布尼兹三角形.根据前5行的规律，可写出第6行的数依次是________.

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有一个根据某年某月某日计算“星期几”的有趣公式:，除以7的余数,其中,c表示年的前两位数字(即世纪),y表示年的后两位数字,d表示日,m表示月对应的数字(见表).

表

表示不大于x的最大整数，则2008年6月18日是星期______.

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