定义在上的函数，对任意的正整数，都有，且，若对任意的正整数，有，则___________.

（本题满分20分）

设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件：

（1）任意，有，当时，且；

（2）；

（3），

试求：（1）证明：任意， ，都有；

（2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由． （阶乘定义：）

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定义在上的函数，对任意的正整数，都有，且，若对任意的正整数，有，则___________.

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符号表示不超过的最大整数，如，定义函数.给出下列四个结论：①函数的定义域是，值域为；②方程有2个解；③函数是增函数；④函数对于定义域内任意，都有，其中正确结论的序号有__．

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我们知道，如果定义在某区间上的函数满足对该区间上的任意两个数、，总有不等式成立，则称函数为该区间上的向上凸函数（简称上凸）. 类比上述定义，对于数列，如果对任意正整数，总有不等式： 成立，则称数列为向上凸数列（简称上凸数列）. 现有数列满足如下两个条件：

（1）数列为上凸数列，且；

（2）对正整数（），都有，其中.

则数列中的第三项的取值范围为____．

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已知定义在上的偶函数和奇函数，且.

（1）求函数，的解析式；

（2）设函数，记 .探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.

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已知定义在上的偶函数和奇函数，且.

（1）求函数，的解析式；

（2）设函数，记 .探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.

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定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意， 恒成立，则称为线周期函数， 为的线周期.

（Ⅰ）下列函数①，②，③（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；

（Ⅱ）若为线周期函数，其线周期为，求证：函数为周期函数；

（Ⅲ）若为线周期函数，求的值.

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符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数，那么下列说法正确的个数是（　　　　 ）

函数 的定义域为 R ，值域为  1, 0

②方程 有无数多个解

③对任意的，都有成立

④函数是单调减函数

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

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定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意 ， 恒成立，则称为线周期函数， 为的线周期．

（1）下列函数①，②，③（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是　　　　　　　　　 （直接填写序号）；

（2）若为线周期函数，其线周期为，求证： 为周期函数；

（3）若为线周期函数，求的值.

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定义：若函数的定义域为，且存在非零常数，对任意，恒成立，则称为线周期函数，为的线周期．

（1）下列函数①，②，③（其中表示不超过x的最大整数），是线周期函数的是　　　　　　　　　 （直接填写序号）；

（2）若为线周期函数，其线周期为，求证：为周期函数；

（3）若为线周期函数，求的值.

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