第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.
如果存在常数使得数列满足:若是数列中的一项,则也是数列中的一项,称数列为“兑换数列”,常数是它的“兑换系数”.
(1)若数列:是“兑换系数”为的“兑换数列”,求和的值;
(2)已知有穷等差数列的项数是,所有项之和是,求证:数列是“兑换数列”,并用和表示它的“兑换系数”;
(3)对于一个不少于3项,且各项皆为正整数的递增数列,是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论并说明理由.
高三数学解答题中等难度题
第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.
已知点为双曲线的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且,圆的方程为.
(1)求双曲线的方程;
(2)过圆上任意一点作切线交双曲线于两个不同点,中点为,
求证:;
(3)过双曲线上一点作两条渐近线的垂线,垂足分别是和,求的值
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(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
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(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
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(本小题满分12分)
已知圆锥曲线是参数)和定点,F1、F2是圆锥曲线的左、右焦点。
(1)求经过点F1垂直于直线AF2的直线的参数方程;
(2)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极辆建立极坐标系,求直线AF2的极坐标方程。
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(本小题满分14分)
已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是,一条渐近线的方程是.
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.
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(本小题满分12分)
已知椭圆的方程为,离心率,过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1.
(1)求椭圆的方程;
(2),,为曲线上的三个动点, 在第一象限, ,关于原点对称,且,问的面积是否存在最小值?若存在,求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.
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(本小题满分13分)
设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
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(本题满分12分)如图,曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分,曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分,A是曲线和的交点且为钝角,若
,.
(1)求曲线和的方程;
(2)过作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由.
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(本题满分12分)如图,曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分,曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分,A是曲线和的交点且为钝角,若,
(1)求曲线和的方程
(2)过作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由
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(本小题满分14分)设A是圆上的任意一点,是过点A与轴垂直的直线,D是直线与轴的交点,点M在直线上,且满足.当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.
(1)求曲线的标准方程;
(2)设曲线的左右焦点分别为、,经过的直线与曲线交于P、Q两点,若,求直线的方程.
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