设集合，，若，则______ .

给定集合A，若对于任意，有，且,则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：

①集合为闭集合；

②集合为闭集合；

③若集合为闭集合，则为闭集合；

其中正确结论的序号是________________________.

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若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：

（１）；

（２）对于的任意子集，当时，，。

则称是集合的一个“集合类”。

例如：是集合的一个“集合类”

已知集合，则所有含的“集合类”的个数为　　　　　

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若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：

（１）；

（２）对于的任意子集，当时，，。

则称是集合的一个“集合类”。

例如：是集合的一个“集合类”

已知集合，则所有含的“集合类”的个数为　　　　　

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（本小题满分14分）

已知集合，若集合，且对任意的，存在，使得（其中），则称集合为集合的一个元基底.

（Ⅰ）分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底，并说明理由；

①，；

②，.

（Ⅱ）若集合是集合的一个元基底，证明：；

（Ⅲ）若集合为集合的一个元基底，求出的最小可能值，并写出当取最小值时的一个基底.

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对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.

（1）判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；

（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；

（3）若集合是“可分集合”.

①证明：为奇数；

②求集合中元素个数的最小值.

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已知集合 为集合U的n个非空子集，这n个集合满足：①从中任取m个集合都有 成立；②从中任取个集合都有 成立．

（Ⅰ）若， ， ，写出满足题意的一组集合；

（Ⅱ）若， ，写出满足题意的一组集合以及集合；

（Ⅲ) 若， ，求集合中的元素个数的最小值．

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已知集合（，且），若存在非空集合，使得，且，并任意，都有，则称集合S具有性质P，称为集合S的P子集.

（1）当时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集；

（2）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设，求证：任意，，都有；

（3）求证：对任意正整数，集合S具有性质P.

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已知集合，其中，．如果集合满足：对于任意的，都有，那么称集合具有性质．

（Ⅰ）写出一个具有性质的集合；

（Ⅱ）证明：对任意具有性质的集合，；

（Ⅲ）求具有性质的集合的个数．

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