已知函数（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：．

已知函数，.

（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明： .

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已知函数

（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明：．

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已知函数，.

（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明： .

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已知函数

（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明：．

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已知函数.

（Ⅰ）若函数有两个零点，求的取值范围；

（Ⅱ）证明：当时，关于的不等式在上恒成立.

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已知函数

（1）若函数有两个零点，求的取值范围；

（2）证明：当时，关于的不等式在上恒成立.

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（本题满分16分）已知函数，

（1）证明为奇函数，并在上为增函数；

（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围

（3）设，当时，，求的最大值

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已知函数，

（Ⅰ）当时，求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若数列满足， ，记的前项和为，求证： .

【答案】（I）；（II）；（III）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）当时，因为，所以显然不成立，先证明因此时， 在上恒成立，再证明当时不满足题意，从而可得结果；（III）先求出等差数列的前项和为，结合（II）可得，各式相加即可得结论.

（Ⅰ）由，得.所以

令，解得或（舍去），所以函数的单调递减区间为 .

（Ⅱ）由得，

当时，因为，所以显然不成立，因此.

令，则，令，得.

当时， ， ，∴，所以，即有.

因此时， 在上恒成立.

②当时， ， 在上为减函数，在上为增函数，

∴，不满足题意.

综上，不等式在上恒成立时，实数的取值范围是.

（III）证明：由知数列是的等差数列，所以

所以

由（Ⅱ）得， 在上恒成立.

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已知函数，当时，.

（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；

（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（3）试证明：.

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设函数．

(1)证明：当时，；

(2)若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

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