已知函数，设为的导数，（1）求的值；（2）证明：对任意，等式都成立.

（10分）已知函数，设为的导数，

（1）求的值；

（2）证明：对任意，等式都成立.

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已知函数 (x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.

(1)求的值；

(2)证明：对任意的n∈N*，等式都成立.

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（本题满分14分）设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方有实数根；②函数的导数满足”

（I）证明：函数是集合M中的元素；

（II）证明：函数具有下面的性质：对于任意，都存在，使得等式成立。

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设是自然对数的底数，我们常常称恒成立不等式（，当且仅当时等号成立)为“灵魂不等式”，它在处理函数与导数问题中常常发挥重要作用.

（1）试证明这个不等式；

（2）设函数，若在内恒成立，求实数的值.

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已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对于任意正整数，，不等式恒成立．

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已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对定义域每的任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：对于任意正整数，不等式恒成立。

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已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若对定义域每的任意恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明：对于任意正整数，不等式恒成立。

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已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：对于任意正整数，，不等式恒成立．

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已知函数有且只有一个零点，其中．

（1）求的值；

（2）若对任意的，有成立，求实数k的最大值；

（3）设，对任意，证明：不等式恒成立．

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