在中，，为的中点，，则周长的最大值是________.

已知椭圆的两个焦点分别为、，，点在椭圆上，且的周长为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，点到直线的距离为，且，，三点共线，求的最大值.

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已知椭圆的两个焦点分别为、，，点在椭圆上，且的周长为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于，两点，设线段的中点为，点到直线的距离为，且，，三点共线，求的最大值.

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椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若的周长为，且面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上两动点，线段的中点为，的斜率分别为 为坐标原点，且，求的取值范围.

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、分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，是上任意一点，是线段的中点．已知的周长为，面积的最大值为．

（Ⅰ）求的标准方程；

（Ⅱ）过作直线交于两点，，以为邻边作平行四边形，求四边形面积的取值范围．

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椭圆的左、右焦点为，离心率为，已知过轴上一点作一条直线：，交椭圆于两点，且的周长最大值为8.

（1）求椭圆方程；

（2）以点为圆心，半径为的圆的方程为.过的中点作圆的切线，为切点，连接，证明：当取最大值时，点在短轴上（不包括短轴端点及原点）.

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如图所示，在确定的四面体中，截面平行于对棱和.

(1)若⊥，则截面与侧面垂直；

(2)当截面四边形面积取得最大值时，为中点；

(3)截面四边形的周长有最小值；

(4)若⊥，，则在四面体内存在一点到四面体六条棱的中点的距离相等.上述说法正确的是　　　　　　　　 ．

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如图长方体的，底面ABCD的周长为4，E为的中点.

（Ⅰ）判断两直线与AD的位置关系，并给予证明：

（Ⅱ）当长方体体积最大时，求直线与平面所成角．

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如图长方体的，底面ABCD的周长为4，E为的中点.

（Ⅰ）判断两直线与AD的位置关系，并给予证明：

（Ⅱ）当长方体体积最大时，求直线与平面所成角．

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如图，四棱锥的底面是矩形，为等边三角形，且平面平面，，分别为和的中点．

（I）证明：平面；

（II）证明：平面平面；

（III）若矩形的周长为，设，当为何值时，四棱锥的体积最大？

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