已知正项等比数列， ， 与的等比中项为.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前项和为....

已知是数列的前项和，并且，对任意正整数， ，设（）.

（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；

（2）设，求证：数列不可能为等比数列.

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已知正项等比数列， ， 与的等比中项为.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，数列的前项和为.证明：对任意的，都有.

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已知正项等比数列， ， 与的等比中项为.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，数列的前项和为.证明：对任意的，都有.

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已知数列满足：，且对任意的，都有成等差数列.

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

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已知数列的前项和为， ．

（Ⅰ）求，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明；

（Ⅱ）设，求证：数列中任意三项均不成等比数列．

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已知正数数列前项和为，且任意，与2的等差中项等于与2的正的等比中项．

（1）求，，；

（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

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公差不为0的等差数列的前项和为，若，，，成等比．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，证明对任意的，恒成立．

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已知各项均为正数的数列中，，是数列的前项和，对任意，有，函数，数列的首项，.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求证：是等比数列并通项公式.

（3）令，，求数列的前项和.

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（本小题满分10分）

已知数列，其前项和为.

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；

（Ⅲ）如果数列满足，请证明数列是等比数列，并求其前项和.

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（本题12分）已知数列的前项和满足

（1）证明为等比数列，并求的通项公式；

（2）设；求数列的前项和．

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