高三数学解答题中等难度题
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已知定义域为[0,1]的函数同时满足以下三个条件:①对任意,总有;②;③若,则有成立.
(1) 求的值;(2) 函数在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明
(3) 假定存在,使得,且,求证:
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(本小题满分12分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若f(-1)=0,试判断函数f(x)零点的个数;
(2)是否存在a,b,c∈R,使f(x)同时满足以下条件:
①对任意x∈R,f(-1+x)=f(-1-x),且f(x)≥0;
②对任意x∈R,都有0≤f(x)-x≤(x-1)2.若存在,求出a,b,c的值;若不存在,请说
明理由。
(3)若对任意x1、x2∈R且x1<x2,f(x1)≠f(x2),试证明:存在x0∈(x1,x2),使f(x0)=[f(x1)+f(x2)]成立。
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设是定义在实数上的函数,是定义在正整数上的函数,同时满足下列条件:
(1)任意,有,当时,且;
(2);
(3),
试求:(1)证明:任意, ,都有;
(2)是否存在正整数,使得是25的倍数,若存在,求出所有自然数;若不存在说明理由. (阶乘定义:)
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已知数列中,,其前项和满足:,令
.
(1) 求数列的通项公式;
(2) 若,求证:;
(3) 令,问是否存在正实数同时满足下列两个条件?
①对任意,都有;
②对任意的,均存在,使得当时总有.
若存在,求出所有的; 若不存在,请说明理由.
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定义域为的函数同时满足以下两条性质:
①存在,使得;
②对于任意,有.
根据以下条件,分别写出满足上述性质的一个函数.
(i)若是增函数,则_______ ;
(ⅱ)若不是单调函数,则_______ .
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