设数列满足,其中,且为常数.
(1)若是等差数列,且公差,求的值;
(2)若,且数列满足对任意的都成立.
①求数列的前项之和;
②若对任意的都成立,求的最小值.
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设数列满足,其中,且为常数.
(1)若是等差数列,且公差,求的值;
(2)若,且数列满足对任意的都成立.
①求数列的前项之和;
②若对任意的都成立,求的最小值.
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设数列满足,其中,且, 为常数.
(1)若是等差数列,且公差,求的值;
(2)若,且存在,使得对任意的都成立,求的最小值;
(3)若,且数列不是常数列,如果存在正整数,使得对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值.
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记数列的前n项和为,其中所有奇数项之和为,所有偶数项之和为
若是等差数列,项数n为偶数,首项,公差,且,求;
若数列的首项,满足,其中实常数,且,请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列.
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设为等差数列的公差,数列的前项和,满足(),且,若实数(,),则称具有性质.
(1)请判断、是否具有性质,并说明理由;
(2)设为数列的前项和,若是单调递增数列,求证:对任意的(,),实数都不具有性质;
(3)设是数列的前项和,若对任意的,都具有性质,求所有满足条件的的值.
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若数列满足:对于,都有(为常数),则称数列是公差为的“隔项等差”数列.
(Ⅰ)若,是公差为8的“隔项等差”数列,求的前项之和;
(Ⅱ)设数列满足:,对于,都有.
①求证:数列为“隔项等差”数列,并求其通项公式;
②设数列的前项和为,试研究:是否存在实数,使得成等比数列()?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
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若数列满足:对于,都有(为常数),则称数列是公差为的“隔项等差”数列.
(Ⅰ)若,是公差为8的“隔项等差”数列,求的前项之和;
(Ⅱ)设数列满足:,对于,都有.
①求证:数列为“隔项等差”数列,并求其通项公式;
②设数列的前项和为,试研究:是否存在实数,使得成等比数列()?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
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设数列的前项和为,如果为常数,则称数列为“科比数列”.
(Ⅰ)已知等差数列的首项为1,公差不为零,若为“科比数列”,求的通项公式;
(Ⅱ)设数列的各项都是正数,前项和为,若对任意 都成立,试推断数列是否为“科比数列”?并说明理由.
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已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为,为其前项和.且满足,.数列满足,为数列的前项和.
(1)求和;
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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已知数列是各项均不为0的等差数列,公差为,为其前项和,且满足.数列满足,为数列的前项和.
(1)求;
(2)求;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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已知等差数列的公差,其中是方程的两根,数列的前项和为,且满足.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设数列的前项和为,且,若不等式对任意都成立,求整数的最小值.
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