（本小题满分12分）设是圆上的动点，点是点在轴上的投影，为上一点，且．（1）求证：点的轨迹...

（本小题满分12分）设是圆上的动点，点是点在轴上的投影，为上一点，且．

（1）求证：点的轨迹是椭圆；

（2）设（Ⅰ）中椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，为线段的中点，当三角形（为坐标原点）的面积最大时，求直线的方程．

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（本小题满分14分）

如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的投影。M为线段PD上一点，

且

（1）当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（2）已知点，设点是轨迹C上的一点，求的

平分线所在直线的方程。

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（本小题满分12分）在中，顶点，，、分别是的重心和内心，且．

求顶点的轨迹的方程；

过点的直线交曲线于、两点，是直线上一点，设直线、、的斜率分别为，，，求证：．

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（本小题满分12分)

已知点是椭圆上一点，是椭圆的两焦点，且满足

(Ⅰ) 求椭圆的两焦点坐标；

(Ⅱ) 设点是椭圆上任意一点，如果最大时，求证、两点关于原点不对称.

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（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆 的左顶点为，右焦点为.为椭圆上一点，且.

（1）若，，求的值；

（2）若，求椭圆的离心率；

（3）求证：以为圆心，为半径的圆与椭圆的右准线相切.

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（本题满分13分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A、B．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若在椭圆上的点处的切线方程是．求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；

（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问否存在实数，使得 成立，若成立求出的值，若不存在，请说明理由

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（本题满分13分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为它的离心率为，一个焦点是，过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A、B．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若在椭圆上的点处的切线方程是．求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；

（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问否存在实数，使得 成立，若成立求出的值，若不存在，请说明理由

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(本大题满分12分)

已知椭圆的左右顶点分别为，左右焦点为分别为，焦距为

，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若为椭圆上一动点，直线过点且与轴垂直，为直线与的交点，为直线与直线的交点，求证：点在一个定圆上.

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(本小题满分12分)

已知 F₁、F₂是椭圆的两焦点，是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1.过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.

（1）求P点坐标;

（2）求证直线AB的斜率为定值;

（3）求△PAB面积的最大值.

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（本题满分12分）已知抛物线上一点到其焦点的距离为4；椭圆的离心率，且过抛物线的焦点．

（1）求抛物线和椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线于、两不同点，交轴于点，已知，求证：为定值．

（3）直线交椭圆于，两不同点，，在轴的射影分别为，，，若点S满足：，证明：点S在椭圆上．

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