在数列中，，且任意连续三项的和都是15，则____．

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给定一个项的实数列， ， ， ，任意选取一个实数，变换将数列， ， ， 变换为数列， ， ， ，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数可以不相同，第次变换记为，其中为第次变换时所选择的实数．如果通过次变换后，数列中的各项均为，则称， ， ， 为“次归零变换”．

（）对数列， ， ， ，给出一个“次归零变换”，其中．

（）对数列， ， ， ， ，给出一个“次归零变换”，其中．

（）证明：对任意项的实数列，都存在“次归零变换”．

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在数列中，，，且任意连续三项的和均为，设是数列的前项和，

则使得成立的最大整数_____________.

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已知一个数列只有21项，首项为，末项为，其中任意连续三项a，b，c满足b＝，则此数列的第15项是________．

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（本小题满分13分）

已知数列满足：，

（I）求得值；

（II）设求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；

（III）对任意的，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由.

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（本小题满分13分）

已知数列满足：，

（I） 求得值；

（II）     设求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；

（III）    对任意的，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由。

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在数列中，，且任意连续三项的和都是15，则____．

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定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.

（Ⅰ）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；

（Ⅱ）已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；

（Ⅲ）根据“保三角形函数”的定义，对函数，，和数列1，，，（）提出一个正确的命题，并说明理由．

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已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列.

（Ⅰ）若 ，是否存在，有？请说明理由；

（Ⅱ）若（为常数，且），对任意，存在，有，试求满足的充要条件；

（Ⅲ）若，试确定所有的,使数列中存在某个连续项的和为数列中的某一项，请证明.

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