已知曲线.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若曲线在点处的切线与曲线相切，求的值.【答案】...

已知曲线.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）若曲线在点处的切线与曲线相切，求的值.

【答案】（1）；（2）8.

【解析】

（1）求得函数的导函数，利用切点坐标和斜率求得切线方程.（2）先求得曲线过点的切线方程，利用切线的斜率等于导数值求得切点的坐标，代入切线方程可求得的值.

由题可得

（1）　　 ，

由直线的点斜式方程有，切线的方程为：

，即：.

（2）函数在的导数为，所以切线方程为，

曲线的导数，因与该曲线相切，

可令，∴，

代入曲线方程可求得切点为，代入切线方程可求得.

【点睛】

本小题主要考查过曲线上一点切线方程的求法，考查经过某点的曲线的切线方程有关问题的求解策略，属于中档题.

【题型】解答题
【结束】
21

（本小题满分12分）

已知抛物线C的方程C：y2="2" p x（p＞0）过点A（1，-2）.

（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；

（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

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已知抛物线： 在点处的切线与曲线： 相切，若动直线分别与曲线、相交于、两点，则的最小值为（　　 ）

A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.

【答案】D

【解析】

，令

，选D

点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解得两个根；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．

【题型】单选题
【结束】
13

已知椭圆的左、右焦点分别为和，且其图像过定点，则的离心率_________．

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已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）设，计算的导数.

【答案】（1）.（2）.

【解析】试题分析：（1）由导数的基本定义就出斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）， .

（1），则，

又，∴所求切线方程为，即.

（2）， .

【题型】解答题
【结束】
18

对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

（1）求出表中及图中的值；

（2）若该校高一学生有800人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间内的人数.

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已知曲线在点处的切线为，其中.

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公共点.

【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，分别求出，，即可求得直线的方程；（Ⅱ）联立直线与曲线的方程，令，利用导数研究函数的单调性，即可判断函数零点的个数，从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.

（I）因为

所以直线的斜率

所以直线的方程为

化简得到

(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得

所以

所以

令

所以，

令，得到得，

当时，的变化情况如下表

因为时，，而

（或者说：时，），

所以在上有一个零点

而时，，所以在上只有一个零点

又在上没有零点

所以只有两个不同的零点，即直线和曲线有两个不同的公共点.

【题型】解答题
【结束】
18

已知函数，其中常数.

（Ⅰ）若函数为单调函数，求实数的最大值；

（Ⅱ）如果函数只有一个零点，求实数的取值范围.

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已知曲线在点处的切线为，其中.

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公共点.

【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.

【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，分别求出，，即可求得直线的方程；（Ⅱ）联立直线与曲线的方程，令，利用导数研究函数的单调性，即可判断函数零点的个数，从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.

（I）因为

所以直线的斜率

所以直线的方程为

化简得到

(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得

所以

所以

令

所以，

令，得到得，

当时，的变化情况如下表

因为时，，而

（或者说：时，），

所以在上有一个零点

而时，，所以在上只有一个零点

又在上没有零点

所以只有两个不同的零点，即直线和曲线有两个不同的公共点.

【题型】解答题
【结束】
18

已知函数，其中常数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）如果函数没有零点，求实数的取值范围.

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（本小题满分12分）

已知函数，曲线在点处的切线方程为.

（1）求函数的解析式；

（2）过点能作几条直线与曲线相切？说明理由.

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直线经过点且与曲线在处的切线垂直，则直线的方程为.__________．

【答案】

【解析】设曲线在点处的切线斜率为 ，则 、因为直线经过点且与曲线在处的切线垂直
所以 ，解得

即答案为

【题型】填空题
【结束】
27

定长为4的线段两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，则点到轴距离的最小值为__________．

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设函数，曲线在点处的切线方程为．

（Ⅰ） 求的解析式；

（Ⅱ） 证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值．

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析

【解析】

（Ⅰ） 由题意点即在曲线，又在切线上，可得，所以曲线在点处切线的斜率为3，对函数求导，列出关于的方程组，从而求出函数的解析式；

（Ⅱ）先设P（x0，y0）为曲线上任一点，得曲线在点P（x0，y0）处的切线方程，求出切线方程与直线和直线的交点坐标，从而得到点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值为4

（Ⅰ）方程3x－y－4＝0可化为y＝3x－4，

当x＝1时，y＝．又f′（x）＝a＋，于是解得

故　　

（Ⅱ） 证明：设P（x0，y0）为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（1＋）（x－x0），即y－（x0－）＝（1＋）（x－x0）．

令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为．

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0,2x0）．

所以点P（x0，y0）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为

S＝|2x0|＝4．

故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，

且此定值为4．　

考点：导数的应用，三角形面积的求法．

【易错点睛】（1）本题利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,一般的“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标求斜率．对本题一定要注意点切线上，又在曲线上，联立方程组，求出的值，得到函数的解析式；（2）对于未告诉切点坐标的问题，应先设出切点坐标，根据题意，求出切点坐标，写出点斜式方程，注意如果只是求切线方程的，最后一定化成一般式．

【题型】解答题
【适用】一般
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷（带解析）
【关键字标签】
【结束】

如图，已知四边形内接于抛物线，点，平行于轴，平行于该抛物线在点处的切线，．

（Ⅰ）求直线的方程；

（Ⅱ）求四边形的面积．

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曲线在点处的切线方程是（　　　 ）

A. 或　　 B.

C. 或　　 D.

【答案】B

【解析】，

点在曲线上，则，则，即，故选B。

【题型】单选题
【结束】
14

某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（　　 ）

A. 32　　 B. 　　 C. 48　　 D.

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