直线经过点且与曲线在处的切线垂直,则直线的方程为.__________.
【答案】
【解析】设曲线在点处的切线斜率为 ,则 、因为直线经过点且与曲线在处的切线垂直
所以 ,解得
即答案为
【题型】填空题
【结束】
27
定长为4的线段两端点在抛物线上移动,设点为线段的中点,则点到轴距离的最小值为__________.
高二数学填空题中等难度题
直线经过点且与曲线在处的切线垂直,则直线的方程为.__________.
【答案】
【解析】设曲线在点处的切线斜率为 ,则 、因为直线经过点且与曲线在处的切线垂直
所以 ,解得
即答案为
【题型】填空题
【结束】
27
定长为4的线段两端点在抛物线上移动,设点为线段的中点,则点到轴距离的最小值为__________.
高二数学填空题中等难度题查看答案及解析
设曲线在点处的切线与直线垂直,则= ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
因为,所以,在点处的切线斜率,直线的斜率,与直线垂直的斜率,所以,解得.
考点:导数的几何意义.
【题型】选择题
【适用】较易
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
设椭圆:的左右焦点分别为,,过点的直线与交于点,.若,且,则的值为( )
A. B. C. D.
高二数学选择题简单题查看答案及解析
已知圆的圆心在直线上,且圆经过点与点.
(1)求圆的方程;
(2)过点作圆的切线,求切线所在的直线的方程.
【答案】(1);(2)或.
【解析】试题分析:(1)求出线段的中点,进而得到线段的垂直平分线为,与联立得交点,∴.则圆的方程可求
(2)当切线斜率不存在时,可知切线方程为.
当切线斜率存在时,设切线方程为,由到此直线的距离为,解得,即可到切线所在直线的方程.
((1)设 线段的中点为,∵,
∴线段的垂直平分线为,与联立得交点,
∴.
∴圆的方程为.
(2)当切线斜率不存在时,切线方程为.
当切线斜率存在时,设切线方程为,即,
则到此直线的距离为,解得,∴切线方程为.
故满足条件的切线方程为或.
【点睛】本题考查圆的方程的求法,圆的切线,中点弦等问题,解题的关键是利用圆的特性,利用点到直线的距离公式求解.
【题型】解答题
【结束】
20
某小型企业甲产品生产的投入成本(单位:万元)与产品销售收入(单位:万元)存在较好的线性关系,下表记录了最近5次产品的相关数据.
(投入成本) | 7 | 10 | 11 | 15 | 17 |
(销售收入) | 19 | 22 | 25 | 30 | 34 |
(1)求关于的线性回归方程;
(2)根据(1)中的回归方程,判断该企业甲产品投入成本20万元的毛利率更大还是投入成本24万元的毛利率更大()?
相关公式: , .
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知圆的圆心在直线上,且圆经过点与点.
(1)求圆的方程;
(2)过点作圆的切线,求切线所在的直线的方程.
【答案】(1);(2)或.
【解析】试题分析:(1)求出线段的中点,进而得到线段的垂直平分线为,与联立得交点,∴.则圆的方程可求
(2)当切线斜率不存在时,可知切线方程为.
当切线斜率存在时,设切线方程为,由到此直线的距离为,解得,即可到切线所在直线的方程.
((1)设 线段的中点为,∵,
∴线段的垂直平分线为,与联立得交点,
∴.
∴圆的方程为.
(2)当切线斜率不存在时,切线方程为.
当切线斜率存在时,设切线方程为,即,
则到此直线的距离为,解得,∴切线方程为.
故满足条件的切线方程为或.
【点睛】本题考查圆的方程的求法,圆的切线,中点弦等问题,解题的关键是利用圆的特性,利用点到直线的距离公式求解.
【题型】解答题
【结束】
20
某小型企业甲产品生产的投入成本(单位:万元)与产品销售收入(单位:万元)存在较好的线性关系,下表记录了最近5次产品的相关数据.
(投入成本) | 7 | 10 | 11 | 15 | 17 |
(销售收入) | 19 | 22 | 25 | 30 | 34 |
(1)求关于的线性回归方程;
(2)根据(1)中的回归方程,判断该企业甲产品投入成本20万元的毛利率更大还是投入成本24万元的毛利率更大()?
相关公式: , .
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知曲线.
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若曲线在点处的切线与曲线相切,求的值.
【答案】(1);(2)8.
【解析】
(1)求得函数的导函数,利用切点坐标和斜率求得切线方程.(2)先求得曲线过点的切线方程,利用切线的斜率等于导数值求得切点的坐标,代入切线方程可求得的值.
由题可得
(1) ,
由直线的点斜式方程有,切线的方程为:
,即:.
(2)函数在的导数为,所以切线方程为,
曲线的导数,因与该曲线相切,
可令,∴,
代入曲线方程可求得切点为,代入切线方程可求得.
【点睛】
本小题主要考查过曲线上一点切线方程的求法,考查经过某点的曲线的切线方程有关问题的求解策略,属于中档题.
【题型】解答题
【结束】
21
(本小题满分12分)
已知抛物线C的方程C:y2="2" p x(p>0)过点A(1,-2).
(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由。
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,计算的导数.
【答案】(1).(2).
【解析】试题分析:(1)由导数的基本定义就出斜率,根据点斜式写出切线方程;(2), .
(1),则,
又,∴所求切线方程为,即.
(2), .
【题型】解答题
【结束】
18
对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取名学生作为样本,得到这名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
(1)求出表中及图中的值;
(2)若该校高一学生有800人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间内的人数.
高二数学解答题简单题查看答案及解析
设函数,曲线在点处的切线方程为.
(Ⅰ) 求的解析式;
(Ⅱ) 证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析
【解析】
(Ⅰ) 由题意点即在曲线,又在切线上,可得,所以曲线在点处切线的斜率为3,对函数求导,列出关于的方程组,从而求出函数的解析式;
(Ⅱ)先设P(x0,y0)为曲线上任一点,得曲线在点P(x0,y0)处的切线方程,求出切线方程与直线和直线的交点坐标,从而得到点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为定值为4
(Ⅰ)方程3x-y-4=0可化为y=3x-4,
当x=1时,y=.又f′(x)=a+,于是解得
故
(Ⅱ) 证明:设P(x0,y0)为曲线上任一点,由y′=1+知曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=(1+)(x-x0),即y-(x0-)=(1+)(x-x0).
令x=0,得y=-,从而得切线与直线x=0交点坐标为.
令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形的面积为
S=|2x0|=4.
故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为定值,
且此定值为4.
考点:导数的应用,三角形面积的求法.
【易错点睛】(1)本题利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程,注意这个点的切点,一般的“在”曲线上一点处的切线问题,先对函数求导,代入点的横坐标求斜率.对本题一定要注意点切线上,又在曲线上,联立方程组,求出的值,得到函数的解析式;(2)对于未告诉切点坐标的问题,应先设出切点坐标,根据题意,求出切点坐标,写出点斜式方程,注意如果只是求切线方程的,最后一定化成一般式.
【题型】解答题
【适用】一般
【标题】【百强校】2015-2016学年甘肃省兰州一中高二上期末文科数学试卷(带解析)
【关键字标签】
【结束】
如图,已知四边形内接于抛物线,点,平行于轴,平行于该抛物线在点处的切线,.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求四边形的面积.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知曲线在点处的切线为,其中.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求证:直线和曲线一定有两个不同的公共点.
【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(I)求出函数的导数,分别求出,,即可求得直线的方程;(Ⅱ)联立直线与曲线的方程,令,利用导数研究函数的单调性,即可判断函数零点的个数,从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.
(I)因为
所以直线的斜率
所以直线的方程为
化简得到
(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得
所以
所以
令
所以,
令,得到得,
当时,的变化情况如下表
0 | 0 | ||||
极大 | 极小 |
因为时,,而
(或者说:时,),
所以在上有一个零点
而时,,所以在上只有一个零点
又在上没有零点
所以只有两个不同的零点,即直线和曲线有两个不同的公共点.
【题型】解答题
【结束】
18
已知函数,其中常数.
(Ⅰ)若函数为单调函数,求实数的最大值;
(Ⅱ)如果函数只有一个零点,求实数的取值范围.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知曲线在点处的切线为,其中.
(Ⅰ)求直线的方程;
(Ⅱ)求证:直线和曲线一定有两个不同的公共点.
【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(I)求出函数的导数,分别求出,,即可求得直线的方程;(Ⅱ)联立直线与曲线的方程,令,利用导数研究函数的单调性,即可判断函数零点的个数,从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.
(I)因为
所以直线的斜率
所以直线的方程为
化简得到
(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得
所以
所以
令
所以,
令,得到得,
当时,的变化情况如下表
0 | 0 | ||||
极大 | 极小 |
因为时,,而
(或者说:时,),
所以在上有一个零点
而时,,所以在上只有一个零点
又在上没有零点
所以只有两个不同的零点,即直线和曲线有两个不同的公共点.
【题型】解答题
【结束】
18
已知函数,其中常数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)如果函数没有零点,求实数的取值范围.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知函数f(x)=x3+x-16.
(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程;
(2)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;
(3)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程.
高二数学解答题困难题查看答案及解析