已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率等于,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为.直线与轴交于点P,与椭圆E相交于A,B两个点.
(I)求椭圆E的方程;
(II)若,求的取值范围.
高二数学解答题中等难度题
已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率等于,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为.直线与轴交于点P,与椭圆E相交于A,B两个点.
(I)求椭圆E的方程;
(II)若,求的取值范围.
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已知椭圆的中心在坐标原点,离心率等于,它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知、()是椭圆上的两点,是椭圆上位于直线两侧的动点,且直线的斜率为.
①求四边形APBQ的面积的最大值;
②求证:.
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(12分)
已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,长轴长等于12,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆左顶点作直线l垂直于x轴,若动点M到椭圆右焦点的距离比它到直线l的距离小4,求点M的轨迹方程.
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已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆C;其长轴长等于4,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若点(0,1), 问是否存在直线与椭圆交于两点,且?若存在,求出的取值范围,若不存在,请说明理由.
【解析】本试题主要考查了椭圆的方程的求解,直线与椭圆的位置关系的运用。
第一问中,可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
第二问中,
假设存在这样的直线,设,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;
(ii)下面仅考虑情形:
由,得,
,得
代入1,2式中得到范围。
(Ⅰ) 可设椭圆的标准方程为
则由长轴长等于4,即2a=4,所以a=2.又,所以,
又由于
所求椭圆C的标准方程为
(Ⅱ) 假设存在这样的直线,设,MN的中点为
因为|ME|=|NE|所以MNEF所以
(i)其中若时,则K=0,显然直线符合题意;
(ii)下面仅考虑情形:
由,得,
,得……② ……………………9分
则.
代入①式得,解得………………………………………12分
代入②式得,得.
综上(i)(ii)可知,存在这样的直线,其斜率k的取值范围是
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(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点O,长轴长为2,离心率e=,过右焦点F的直线l交椭圆于P、Q两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若OP、OQ为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线l的方程.
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如图,已知椭圆,椭圆的长轴长为8,离心率为.
求椭圆方程;
椭圆内接四边形ABCD的对角线交于原点,且,求四边形ABCD周长的最大值与最小值.
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如图,已知椭圆,椭圆的长轴长为8,离心率为.
求椭圆方程;
椭圆内接四边形ABCD的对角线交于原点,且,求四边形ABCD周长的最大值与最小值.
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已知椭圆的焦点在轴上,长轴长等于20,离心率等于,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若一直线过该椭圆的一个焦点并交椭圆与A,B两点,求的周长(是另一焦点)
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已知椭圆的中心为原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,长轴长为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过的直线与椭圆交于点,若,求的面积.
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