如图，底面是直角三角形的直三棱柱中，，D是棱上的动点.（1）证明：；（2）求三棱锥的体积.

如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面平面.

（Ⅰ）求证：点为棱的中点；

（Ⅱ）判断四棱锥和的体积是否相等，并证明。

【解析】本试题主要考查了立体几何中的体积问题的运用。第一问中，

易知，面。由此知：从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D为BB₁中点，可以得证。

（1）过点作于点，取的中点，连。面面且相交于，面内的直线，面。……3分

又面面且相交于，且为等腰三角形，易知，面。由此知：，从而有共面，又易知面，故有从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.               …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D为BB₁中点，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD

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如图所示，正三棱柱的高为2，点是的中点，点是的中点．

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长.

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如图所示，正三棱柱的高为2，点是的中点，点是的中点．

（1）证明：平面；

（2）若三棱锥的体积为，求该正三棱柱的底面边长.

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如图，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形和四边形均为矩形．

（1）证明：底面；

（2）设四棱柱的棱长为，若，求四棱锥的体积．

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（本小题满分12分）如图,在三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.

(1)证明:平面;

(2)求三棱锥的体积;

(3)证明:平面.

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如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，点是中点，，．

（Ⅰ）求三棱锥的体积；

（Ⅱ）证明：．

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如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别为，的中点.

（1）证明：；

（2）若，求三棱锥的体积.

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如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点.

（1）证明：平面.

（2）求三棱锥的体积.

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如图，在四棱柱中，底面是菱形，平面，、分别是棱、的中点.

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）若为的中点，，，，求三棱锥的体积.

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