如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面平面.（Ⅰ）求证：点为棱的中...

如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面平面.

（Ⅰ）求证：点为棱的中点；

（Ⅱ）判断四棱锥和的体积是否相等，并证明。

【解析】本试题主要考查了立体几何中的体积问题的运用。第一问中，

易知，面。由此知：从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.

（2）中由A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD，D为BB₁中点，可以得证。

（1）过点作于点，取的中点，连。面面且相交于，面内的直线，面。……3分

又面面且相交于，且为等腰三角形，易知，面。由此知：，从而有共面，又易知面，故有从而有又点是的中点，所以，所以点为棱的中点.               …6分

（2）相等．ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴BB₁⊥A₁B₁，BB₁⊥BC，又A₁B₁⊥B₁C₁，BC⊥AB，

∴A₁B₁⊥平面B₁C₁CD，BC⊥平面A₁ABD（9分）∴V_A1-B1C1CD=1 /3 S_B1C1CD•A₁B₁=1/ 3 ×1 2 (B₁D+CC₁)×B₁C₁×A₁B₁VC-A₁ABD=1 /3 S_A1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA₁)×AB×BC∵D为BB₁中点，∴V_A1-B1C1CD=V_C-A1ABD

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如图，在正三棱柱（侧面垂直于底面，且底面是正三角形）中，，是棱上一动点．

（1）若，分别是，的中点，求证：平面；

（2）求证：三棱锥的体积为定值，并求出该定值．

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如图，在正三棱柱（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，是棱上一点．

（1）若分别是的中点，求证：平面；

（2）求证：不论在何位置，四棱锥的体积都为定值，并求出该定值．

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如图,在三棱柱中, ⊥底面，底面为等边三角形，,, ,分别为, 的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求四棱锥的体积.

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如图，在直三棱柱中，底面△为等腰直角三角形，，为棱上一点，且平面⊥平面.

(Ⅰ)求证：为棱的中点；（Ⅱ）为何值时，二面角的平面角为.

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（本小题满分12分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且分别是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）设，求三棱锥的体积.

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如图，在三棱柱中，底面是等边三角形，且平面 ， 为的中点.

(1) 求证：直线∥平面；

(2) 若， 是的中点，求三棱锥的体积．

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如图，四棱锥中，侧面底面，为等腰直角三角形，，为 直角梯形，.

（1）若为的中点，上一点满足，求证:平面；

（2）若，求四棱锥的表面积.

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