设,若,则称为集合的元“好集”;
(1)写出实数集的一个二元“好集”;
(2)问:正整数集上是否存在二元“好集”?说明理由;
(3)求出正整数集上的所有三元“好集”;
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设,若,则称为集合的元“好集”;
(1)写出实数集的一个二元“好集”;
(2)问:正整数集上是否存在二元“好集”?说明理由;
(3)求出正整数集上的所有三元“好集”;
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设数集由实数构成,且满足:若(且),则.
(1)若,试证明中还有另外两个元素;
(2)集合是否为双元素集合,并说明理由;
(3)若中元素个数不超过8个,所有元素的和为,且中有一个元素的平方等于所有元素的积,求集合.
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(本小题满分14分)
已知集合,若集合,且对任意的,存在,使得(其中),则称集合为集合的一个元基底.
(Ⅰ)分别判断下列集合是否为集合的一个二元基底,并说明理由;
①,;
②,.
(Ⅱ)若集合是集合的一个元基底,证明:;
(Ⅲ)若集合为集合的一个元基底,求出的最小可能值,并写出当取最小值时的一个基底.
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已知关于的不等式的解集为,为整数集.
(1) 若,求实数的取值范围;
(2) 是否存在实数,使得.若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
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已知数集具有性质;对任意的、,,与两数中至少有一个属于.
(1)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(2)证明:,且;
(3)当时,若,求集合.
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已知数集具有性质;对任意的、,,与两数中至少有一个属于.
(1)分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;
(2)证明:,且;
(3)当时,若,求集合.
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已知函数. 为实数,且,记由所有组成的数集为.
(1)已知,求;
(2)对任意的,恒成立,求的取值范围;
(3)若,,判断数集中是否存在最大的项?若存在,求出最大项;若不存在,请说明理由.
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函数的定义域为,如果存在实数, 使得对任意满足且的恒成立,则称为广义奇函数.
(Ⅰ)设函数,试判断是否为广义奇函数,并说明理由;
(Ⅱ)设函数,其中常数 ,证明是广义奇函数,并写出的值;
(Ⅲ)若是定义在上的广义奇函数,且函数的图象关于直线(为常数)对称,试判断是否为周期函数?若是,求出的一个周期,若不是,请说明理由.
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集合A是由适合以下性质的函数构成的:对于定义域内任意两个不相等的实数,都有.
(1)试判断=及是否在集合A中,并说明理由;
(2)设A且定义域为0,,值域为0,1,,试写出一个满足以上条件的函数的解析式,并给予证明.
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