已知数列.如果数列满足， ，其中，则称为的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；...

（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.

（Ⅰ）写出数列的“衍生数列”；

（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；

（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数

列，，，…的首项取出，构成数列.证明：是等差数列.

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（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.

（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；

（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；

（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.

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已知数列.如果数列满足， ，其中，则称为的“陪伴数列”.

（Ⅰ）写出数列的“陪伴数列”；

（Ⅱ）若的“陪伴数列”是.试证明： 成等差数列.

（Ⅲ）若为偶数，且的“陪伴数列”是，证明： .

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已知数列、满足，，其中，则称为的“生成数列”．

（1）若数列的“生成数列”是，求；

（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；

（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，…，依次将数列，，，…的第项取出，构成数列．

探究：数列是否为等比数列，并说明理由．

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已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，如果数列{bn}：b1，b2，b3，…，bn满足b1＝an，bk＝ak－1＋ak－bk－1，其中k＝2,3，…，n，则称{bn}为{an}的“衍生数列”．若数列{an}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{an}为________；若n为偶数，且{an}的“衍生数列”是{bn}，则{bn}的“衍生数列”是________．

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已知数列满足

(1)求证:数列的奇数项,偶数项均构成等差数列;

(2)求的通项公式;

(3)设，求数列的前项和.

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已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（）.

（1）当时，写出数列和，使得.

（2）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列.

（3）若，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（），并用含的式子表示.

（参考：.）

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已知数列满足奇数项成等差数列，而偶数项成等比数列，且，成等差数列，数列的前项和为．

（1）求通项；

（2）求．

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已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（），，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，记.

（1）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列.

（2）写出（），并用含的式子表示.

（3）利用，证明：及.（参考：.）

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