已知数列.如果数列满足， ，其中，则称为的“陪伴数列”.（Ⅰ）写出数列的“陪伴数列”；（Ⅱ...

已知数列.如果数列满足， ，其中，则称为的“陪伴数列”.

（Ⅰ）写出数列的“陪伴数列”；

（Ⅱ）若的“陪伴数列”是.试证明： 成等差数列.

（Ⅲ）若为偶数，且的“陪伴数列”是，证明： .

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（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.

（Ⅰ）写出数列的“衍生数列”；

（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；

（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数

列，，，…的首项取出，构成数列.证明：是等差数列.

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在数列中，若（，，为常数），则称为数列．

（1）若数列是数列，，，写出所有满足条件的数列的前项；

（2）证明：一个等比数列为数列的充要条件是公比为或；

（3）若数列满足，，，设数列的前项和为．是否存在

正整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；

若不存在，说明理由．

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已知数列、满足，，其中，则称为的“生成数列”．

（1）若数列的“生成数列”是，求；

（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；

（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，…，依次将数列，，，…的第项取出，构成数列．

探究：数列是否为等比数列，并说明理由．

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（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，，其中，则称为的“衍生数列”.

（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；

（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；

（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.证明：是等差数列.

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已知项数为的数列满足如下条件:①；②.若数列满足,其中,则称为的“伴随数列”.

(1)数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”,若存在,写出其“伴随数列”；若不存在,请说明理由；

(2)若为的“伴随数列”,证明:；

(3)已知数列存在“伴随数列”,且,,求m的最大值.

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若无穷数列满足：是正实数，当时，，则称是“-数列”.已知数列是“-数列”.

（Ⅰ）若，写出的所有可能值；

（Ⅱ）证明：是等差数列当且仅当单调递减；

（Ⅲ）若存在正整数，对任意正整数，都有，证明：是数列的最大项.

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已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（）.

（1）当时，写出数列和，使得.

（2）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列.

（3）若，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，写出（），并用含的式子表示.

（参考：.）

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已知各项均为非负整数的数列 ，满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为数列．设，．

（Ⅰ）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列；

（Ⅱ）证明存在唯一的数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；

（Ⅲ）若数列，经过有限次变换，可变为数列．设，，求证，其中表示不超过的最大整数．

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已知，，…，是由（）个整数，，…，按任意次序排列而成的数列，数列满足（），，，…，是，，…，按从大到小的顺序排列而成的数列，记.

（1）证明：当为正偶数时，不存在满足（）的数列.

（2）写出（），并用含的式子表示.

（3）利用，证明：及.（参考：.）

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