设是定义在上的函数,若存在,使得在上单调递增,在上单调递减,则称为上的单峰函数,称为峰点,包含峰点的区间称为含峰区间;
(1)判断下列函数:①,②,哪些是“上的单峰函数”?若是,指出峰点,若不是,说明理由;
(2)若函数()是上的单峰函数,求实数a的取值范围;
(3)设是上的单峰函数,若m,),,且,求证:为的含峰区间.
高三数学解答题困难题
设是定义在上的函数,若存在,使得在上单调递增,在上单调递减,则称为上的单峰函数,称为峰点,包含峰点的区间称为含峰区间;
(1)判断下列函数:①,②,哪些是“上的单峰函数”?若是,指出峰点,若不是,说明理由;
(2)若函数()是上的单峰函数,求实数a的取值范围;
(3)设是上的单峰函数,若m,),,且,求证:为的含峰区间.
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设是定义在上的函数,若存在,使得在上单调递增,在上单调递减,则称为上的单峰函数,为峰点,包含峰点的区间为含峰区间. 对任意的上的单峰函数,下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(1)证明:对任意的,,若,则为含峰区间;若,则为含峰区间;
(2)对给定的,证明:存在,满足,使得由(1)所确定的含峰区间的长度不大于;
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设f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0,x*]上单调递增,在[x*,1]上单调递减,则称f(x)为[0,1]上的单峰函数,x*为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.对任意的[0,1]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(I)证明:对任意的∈(O,1),,若f()≥f(),则(0,)为含峰区间:若f()f(),则为含峰区间:
(II)对给定的r(0<r<0.5),证明:存在∈(0,1),满足,使得由(I)所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r:
(III)选取∈(O,1),,由(I)可确定含峰区间为或,在所得的含峰区间内选取,由与或与类似地可确定一个新的含峰区间,在第一次确定的含峰区间为(0,)的情况下,试确定的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02,且使得新的含峰区间的长度缩短到0. 34(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)
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(2005•北京)设f(x)是定义在[0,1]上的函数,若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0,x•]上单调递增,在[x•,1]单调递减,则称f(x)为[0,1]上的单峰函数,x•为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.
对任意的[0,1]上的单峰函数f(x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法.
(Ⅰ)证明:对任意的x1,x2∈(0,1),x1<x2,若f(x1)≥f(x2),则(0,x2)为含峰区间;若f(x1)≤f(x2),则(x1,1)为含峰区间;
(Ⅱ)对给定的r(0<r<0.5),证明:存在x1,x2∈(0,1),满足x2﹣x1≥2r,使得由(Ⅰ)确定的含峰区间的长度不大于0.5+r;
(Ⅲ)选取x1,x2∈(0,1),x1<x2由(Ⅰ)可确定含峰区间为(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰区间内选取x3,由x3与x1或x3与x2类似地可确定是一个新的含峰区间.在第一次确定的含峰区间为(0,x2)的情况下,试确定x1,x2,x3的值,满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34.
(区间长度等于区间的右端点与左端点之差).
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已知函数在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减。
(1)求的值;
(2)若斜率为24的直线是曲线的切线,求此直线方程;
(3)是否存在实数b,使得函数的图象与函数的图象恰有2个不同交点?若存在,求出实数b的值;若不存在,试说明理由.
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(本小题满分13分)
对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:
①在D内单调递增或单调递减;②存在区间[],使在[]上的值域为[];那么把()叫闭函数
(1)求闭函数符合条件②的区间[];
(2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;
(3)若是闭函数,求实数的取值范围.
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定义在上的函数满足:对,都有;当时,,给出如下结论:其中所有正确结论的序号是: .
①对,有;
②函数的值域为;
③存在,使得;
④函数在区间单调递减的充分条件是“存在,使得”.
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