(1)用分析法证明:.
(2)已知,,证明:.
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(1)已知,,且,比较是与的大小;
(2)用反证法证明:若a、b、,且,,,则x、y、z中至少有一个不小于0;
(3)用分析法证明:.
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已知函数.
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)判断当时函数的单调性,并用定义证明;
(3)若定义域为,解不等式.
【答案】(1)奇函数(2)增函数(3)
【解析】试题分析:(1)判断与证明函数的奇偶性,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,如果对定义域上的任意x,都满足f(-x)=f(x)就是偶函数,如果f(-x)=-f(x)就是奇函数,否则是非奇非偶函数。(2)利函数单调性定义证明单调性,按假设,作差,化简,判断,下结论五个步骤。(3)由(1)(2)奇函数在(-1,1)为单调函数,
原不等式变形为f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函数的单调性及定义(-1,1)求解得x范围。
(1)函数为奇函数.证明如下:
定义域为
又
为奇函数
(2)函数在(-1,1)为单调函数.证明如下:
任取,则
,
即
故在(-1,1)上为增函数
(3)由(1)、(2)可得
则
解得:
所以,原不等式的解集为
【点睛】
(1)奇偶性:判断与证明函数的奇偶性,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,如果对定义域上的任意x,都满足f(-x)=f(x)就是偶函数,如果f(-x)=-f(x)就是奇函数,否则是非奇非偶函数。
(2)单调性:利函数单调性定义证明单调性,按假设,作差,化简,定号,下结论五个步骤。
【题型】解答题
【结束】
22
已知函数.
(1)若的定义域和值域均是,求实数的值;
(2)若在区间上是减函数,且对任意的,都有,求实数的取值范围;
(3)若,且对任意的,都存在,使得成立,求实数的取值范围.
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已知函数.
(1)判断并证明函数的奇偶性;
(2)判断当时函数的单调性,并用定义证明;
(3)若定义域为,解不等式.
【答案】(1)奇函数(2)增函数(3)
【解析】试题分析:(1)判断与证明函数的奇偶性,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,如果对定义域上的任意x,都满足f(-x)=f(x)就是偶函数,如果f(-x)=-f(x)就是奇函数,否则是非奇非偶函数。(2)利函数单调性定义证明单调性,按假设,作差,化简,判断,下结论五个步骤。(3)由(1)(2)奇函数在(-1,1)为单调函数,
原不等式变形为f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函数的单调性及定义(-1,1)求解得x范围。
(1)函数为奇函数.证明如下:
定义域为
又
为奇函数
(2)函数在(-1,1)为单调函数.证明如下:
任取,则
,
即
故在(-1,1)上为增函数
(3)由(1)、(2)可得
则
解得:
所以,原不等式的解集为
【点睛】
(1)奇偶性:判断与证明函数的奇偶性,首先要确定函数的定义域是否关于原点对称,再判断f(-x)与f(x)的关系,如果对定义域上的任意x,都满足f(-x)=f(x)就是偶函数,如果f(-x)=-f(x)就是奇函数,否则是非奇非偶函数。
(2)单调性:利函数单调性定义证明单调性,按假设,作差,化简,定号,下结论五个步骤。
【题型】解答题
【结束】
22
已知函数.
(1)若的定义域和值域均是,求实数的值;
(2)若在区间上是减函数,且对任意的,都有,求实数的取值范围;
(3)若,且对任意的,都存在,使得成立,求实数的取值范围.
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已知数列满足.
(1)计算;
(2)并猜想的通项公式(不需要证明但要求简要写出分析过程).
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给出以下四个式子:
①;
②;
③;
④.
(1)已知所给各式都等于同一个常数,试从上述四个式子中任选一个, 求出这个常数;
(2)分析以上各式的共同特点,写出能反应一般规律的等式,并对等式正确性作出证明.
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给出以下四个式子:
①;
②;
③;
④.
(1)已知所给各式都等于同一个常数,试从上述四个式子中任选一个, 求出这个常数;
(2)分析以上各式的共同特点,写出能反应一般规律的等式,并对等式正确性作出证明.
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已知数列满足,且.
(Ⅰ)证明:数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)若记为满足不等式的正整数的个数,设,求数列的最大项与最小项的值.
【答案】(1)见解析;(2)最大项为,最小项为.
【解析】试题分析:(Ⅰ)对两边取倒数,移项即可得出,故而数列为等差数列,利用等差数列的通项公式求出,从而可得出;(Ⅱ)根据不等式,,得,又,从而,当为奇数时,单调递减,;当为偶数时单调递增,综上的最大项为,最小项为.
(Ⅰ)由于,,则
∴,则,即为常数
又,∴数列是以1为首项,为公比的等比数列
从而,即.
(Ⅱ)由即,得,
又,从而
故
当为奇数时,,单调递减,;
当为偶数时,,单调递增,
综上的最大项为,最小项为.
【题型】解答题
【结束】
22
已知向量, ,若函数的最小正周期为,且在区间上单调递减.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若关于的方程在有实数解,求的取值范围.
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(1)用分析法证明:.
(2)已知,,证明:.
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在中,证明:,并分析该不等式何时取等号.
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函数是定义域为的奇函数.
(1)求的值;
(2)若,试分析判断的单调性(不需证明),并求使不等式恒成立的的取值范围.
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