已知函数.（1）判断的奇偶性；（2）若，试用表示.

定义：函数为“下取整函数”，其中表示不大于的最大整数；函数为“上取整函数”，其中表示不小于的最小整数；例如根据定义可得：，，，.

（1）函数，；求和；

（2）判断（1）中函数的奇偶性；

（3）试用分段函数的形式表示函数：.

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已知点直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和为2.

（1）设且，求的表达式，并写出函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性？并给出证明;

（3）试用函数单调性的定义证明：在定义域上不是增函数，但在（0，1）∪（1，+）上为增函数.

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已知函数.

（1）函数是否具有奇偶性？若具有，则给出证明；若不具有，请说明理由；

（2）试用函数单调性的定义证明：在（1，+）上为增函数.

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（本题满分１３分）已知函数，．其中表示不超过的最大整数，例如．

（Ⅰ）试判断函数的奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）求函数的值域．

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已知函数，.

（1）当时，判断函数的奇偶性并证明；

（2）给定实数且，问是否存在直线，使得函数的图像关于直线对称？若存在，求出的值（用表示）；若不存在，请说明理由.

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已知函数.

（1）判断的奇偶性；

（2）若，试用表示.

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已知能表示成一个奇函数和一个偶函数的和.

（1）请分别求出与的解析式；

（2）记，请判断函数的奇偶性和单调性，并分别说明理由.

（3）若存在，使得不等式能成立，请求出实数的取值范围.

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已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2．

（Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）设1－x2 =t, 把f(x)表示为关于t的函数并求其值域．

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已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2．

（Ⅰ）判断函数f(x)的奇偶性；

（Ⅱ）设1－x2 =t, 把f(x)表示为关于t的函数并求其值域．

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已知函数.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明；

（3）若定义域为，解不等式.

【答案】（1）奇函数（2）增函数（3）

【解析】试题分析：（1）判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。（2）利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，判断，下结论五个步骤。（3）由（1）（2）奇函数在（-1，1）为单调函数，

原不等式变形为f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函数的单调性及定义（-1，1）求解得x范围。

（1）函数为奇函数．证明如下：

定义域为

又

为奇函数　　　

（2）函数在（-1，1）为单调函数．证明如下：

任取，则

，

即

故在（-1，1）上为增函数

（3）由（1）、（2）可得

则

　　　　　　　　　 解得：

所以，原不等式的解集为

【点睛】

（1）奇偶性：判断与证明函数的奇偶性，首先要确定函数的定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系，如果对定义域上的任意x，都满足f(-x)=f(x)就是偶函数，如果f(-x)=-f(x)就是奇函数，否则是非奇非偶函数。

（2）单调性：利函数单调性定义证明单调性，按假设，作差，化简，定号，下结论五个步骤。

【题型】解答题
【结束】
22

已知函数.

（1）若的定义域和值域均是，求实数的值；

（2）若在区间上是减函数，且对任意的，都有，求实数的取值范围；

（3）若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.

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