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已知抛物线C:x2=2py(p为正常数)的焦点为F,过F做一直线l交C于P,Q两点,点O为...
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已知抛物线C:x
2
=2py(p为正常数)的焦点为F,过F做一直线l交C于P,Q两点,点O为坐标原点.
(1)当P,Q两点关于y轴对称时,|PQ|=4,求抛物线的方程;
(2)若△POQ的面积记为S,求
的值.
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已知抛物线C:x
2
=2py(p为正常数)的焦点为F,过F做一直线l交C于P,Q两点,点O为坐标原点.
(1)当P,Q两点关于y轴对称时,|PQ|=4,求抛物线的方程;
(2)若△POQ的面积记为S,求
的值.
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已知抛物线C:x
2
=2py(p为正常数)的焦点为F,过F做一直线l交C于P,Q两点,点O为坐标原点.
(1)若△POQ的面积记为S,求
的值;
(2)若直线l垂直于y轴,过点Q做关于直线l的对称的两条直线l
1
,l
2
分别交抛物线C于M,N两点,证明:直线MN斜率等于抛物线在点Q处的切线斜率.
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已知抛物线C:x
2
=2py(p>0)的焦点F与P(2,-1)关于直线l:x-y-2=0对称,中心在坐标原点的椭圆经过两点M(1,
),N(-
,
),且抛物线与椭圆交于两点A(x
A
,y
A
)和B(x
B
,y
B
),且x
A
<x
B
.
(1)求出抛物线方程与椭圆的标准方程;
(2)若直线l′与抛物线相切于点A,试求直线l′与坐标轴所围成的三角形的面积;
(3)若(2)中直线l′与圆x
2
-2mx+y
2
+2y+m
2
-
=0恒有公共点,试求m的取值范围.
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直线AB过抛物线x
2
=2py(p>0)的焦点F,并与其相交于A、B两点,Q是线段AB的中点,M是抛物线的准线与y轴的交点,O是坐标原点.
(Ⅰ)求
的取值范围;
(Ⅱ)过A、B两点分别作此抛物线的切线,两切线相交于N点,求证:
=0,
∥
;
(Ⅲ)若p是不为1的正整数,当
=4P
2
,△ABN的面积的取值范围为[5
,20
]时,求该抛物线的方程.
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过抛物线x
2
=2py(p>0)的焦点F作直线l
1
交抛物线于A、B两点.O为坐标原点.
(1)过点A作抛物线的切线交y轴于点C,求线段AC中点M的轨迹方程;
(2)若l
1
倾斜角为30°,则在抛物线准线l
2
上是否存在点E,使得△ABE为正三角形,若存在,求出E点坐标,若不存在,说明理由.
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已知抛物线C:x
2
=2py(p>0)的焦点为F,A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点,抛物线C在点A、B处的切线分别为l
1
、l
2
,且l
1
⊥l
2
,l
1
与l
2
相交于点D.
(1)求点D的纵坐标;
(2)证明:A、B、F三点共线;
(3)假设点D的坐标为
,问是否存在经过A、B两点且与l
1
、l
2
都相切的圆,若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
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已知抛物线C:x
2
=2py(p>0)的焦点为F,A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点,抛物线C在点A、B处的切线分别为l
1
、l
2
,且l
1
⊥l
2
,l
1
与l
2
相交于点D.
(1)求点D的纵坐标;
(2)证明:A、B、F三点共线;
(3)假设点D的坐标为
,问是否存在经过A、B两点且与l
1
、l
2
都相切的圆,若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
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已知等边三角形OAB的边长为
(点O为坐标原点),且三个顶点均在抛物线E:x
2
=2py(p>0)上.
(I)求抛物线E的方程以及焦点的坐标;
(II)若直线l
1
与抛物线E相切于点A(x
A
<0),直线l
2
与抛物线E相切于点B(x
B
>0),试求直线l
1
,l
2
的方程以及这两条直线的交点坐标.
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已知抛物线x
2
=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A、B的两点,过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),试用x
1
,x
2
表示点M的坐标.
(Ⅱ)
是否为定值,如果是,请求出定值,如果不是,请说明理由.
(III)设△ABM的面积为S,试确定S的最小值.
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已知A,B是抛物线x
2
=2py(p>0)上的两点,F为抛物线的焦点,l为抛物线的准线.
(1)若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点,求证:|AF|=|CF|;
(2)若
(A、B异于原点),直线OB与过A且垂直于X轴的直线m相交于P点,求P点轨迹方程;
(3)若直线AB过抛物线的焦点,分别过A、B点的抛物线的切线相交于点T,求证:
,并且点T在l上.
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