已知函数(),.
(1)求的单调区间;
(2)证明:;
(3)证明:对任意正数,总存在,当时,都有.
高三数学解答题中等难度题
已知函数(),.
(1)求的单调区间;
(2)证明:;
(3)证明:对任意正数,总存在,当时,都有.
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已知函数,其中.
(1)求的单调区间;
(2)当时,斜率为的直线与函数的图象交于两点,其中,证明:.
(3)是否存在,使得对任意恒成立?若存在,请求出的最大值;若不存在,请说明理由.在正数,使得成立?请说明理由.
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已知函数,其中.
(1)求的单调区间;
(2)当时,斜率为的直线与函数的图象交于两点,其中,证明:.
(3)是否存在,使得对任意恒成立?若存在,请求出的最大值;若不存在,请说明理由.在正数,使得成立?请说明理由.
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(本小题满分14分)
已知函数,.
(1)当时,求的单调区间;
(2)对任意正数,证明:。
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已知函数,当时,函数取得极大值.
(1)求实数的值;
(2)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;
(3)已知正数,满足,求证:当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有.
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理科已知函数,当时,函数取得极大值.
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;(Ⅲ)已知正数满足求证:当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有
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已知函数.
(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;
(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在
,使得. 试用这个结论证明:若函数
(其中),则对任意,都有;
(Ⅲ)已知正数满足,求证:对任意的实数,若时,都
有.
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已知.
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,恒成立;
(3)任取两个不相等的正数,且,若存在使成立,证明:.
【解析】(1)g(x)=lnx+,= (1’)
当k0时,>0,所以函数g(x)的增区间为(0,+),无减区间;
当k>0时,>0,得x>k;<0,得0<x<k∴增区间(k,+)减区间为(0,k)(3’)
(2)设h(x)=xlnx-2x+e(x1)令= lnx-1=0得x=e, 当x变化时,h(x),的变化情况如表
x | 1 | (1,e) | e | (e,+) |
- | 0 | + | ||
h(x) | e-2 | ↘ | 0 | ↗ |
所以h(x)0, ∴f(x)2x-e (5’)
设G(x)=lnx-(x1) ==0,当且仅当x=1时,=0所以G(x) 为减函数, 所以G(x) G(1)=0, 所以lnx-0所以xlnx(x1)成立,所以f(x) ,综上,当x1时, 2x-ef(x)恒成立.
(3) ∵=lnx+1∴lnx0+1==∴lnx0=-1 ∴lnx0 –lnx=-1–lnx===(10’) 设H(t)=lnt+1-t(0<t<1), ==>0(0<t<1), 所以H(t) 在(0,1)上是增函数,并且H(t)在t=1处有意义, 所以H(t) <H(1)=0∵∴=
∴lnx0 –lnx>0, ∴x0 >x
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理科(本小题14分)已知函数,当时,函数取得极大值.
(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内导数都存在,且,则存在,使得.试用这个结论证明:若,函数,则对任意,都有;(Ⅲ)已知正数满足求证:当,时,对任意大于,且互不相等的实数,都有
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已知函数()
(1)求的最小值;
(2)若,判断方程在区间内实数解的个数;
(3)证明:对任意给定的,总存在正数,使得当时,恒有.
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