一个圆柱形圆木的底面半径为，长为将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分，现要把其中一个部分加工成...

一个圆柱形圆木的底面半径为，长为将此圆木沿轴所在的平面剖

成两部分，现要把其中一个部分加工成四棱柱大梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，　 其中为圆心，在半圆上）, 设，木梁的体积（单位：）.

（1）求关于的函数表达式；

（2）求的值，使体积最大.

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一个圆柱形圆木的底面半径为，长为，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中为圆心， ， 在半圆上），设，木梁的体积为（单位： ），表面积为（单位： ）．

（1）求关于的函数表达式；

（2）求的值，使体积最大；

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一个圆柱形圆木的底面半径为1，长为10，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分，现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为（单位：），表面积为（单位：）.

（1）求关于的函数表达式；

（2）求的值，使体积最大；

（3）问当木梁的体积最大时，其表面积是否也最大？请说明理由.

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高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则截面所在平面与底面所在平面所成的锐二面角的正切值为（　　 ）

A. 2　　 B.

C. 　　 D.

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如图，已知圆柱和半径为的半球，圆柱的下底面在半球底面所在平面上，圆柱的上底面内接于球，则该圆柱体积的最大值为_______．

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（本题满分12分）

如图，轴截面为边长是2的正方形的圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆的直径．

（1）求三棱柱的体积；

（2）证明：平面⊥平面

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（本题满分13分）如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为．

（ⅰ）当点C在圆周上运动时，求的最大值；

（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．

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如图，圆柱OO内有一个三棱柱ＡＢＣ—Ａ，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径。

(1)证明：平面平面;

(2)设ＡＢ=ＡＡ,在圆柱ＯＯ内随机选取一点，记该点取自三棱柱ＡＢＣ—ＡＢ内的概率为Ｐ.

①当点C在圆周上运动时，求的最大值；

②记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值。

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传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为且以每秒等速率缩短，而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________ ．

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