已知数列 的前 项和为 ，并且满足 ， .（1）求数列 通项公式；（2）设 为数列 的前 ...

已知数列 的前 项和为 ，并且满足 ， .

（1）求数列 通项公式；

（2）设 为数列 的前 项和，求证： .

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：（1）根据题意得到， ，两式做差得到；（2）根据第一问得到，由错位相减法得到前n项和，进而可证和小于1.

解析：

（1）∵

当 时，

当时， ，即

∴数列 时以 为首项， 为公差的等差数列.

∴ .

（2）∵

∴ ①

②

由① ②得

∴

点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.

【题型】解答题
【结束】
22

已知 ， 分别是椭圆 ： （ ）的左、右焦点， 是椭圆 上的一点，且 ，椭圆 的离心率为 .

（1）求椭圆 的标准方程；

（2）若直线 ： 与椭圆 交于不同两点 ， ，椭圆 上存在点 ，使得以 ， 为邻边的四边形 为平行四边形（ 为坐标原点）.

（ⅰ）求实数 与 的关系；

（ⅱ）证明：四边形 的面积为定值.

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已知等比数列{}的前n项和为，且满足2＝＋m（m∈R）．

（Ⅰ）求数列{}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}满足，求数列{}的前n项和．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)法一：由前n项和与数列通项公式的关系可得数列的通项公式为；

法二：由题意可得，则，据此可得数列的通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，裂项求和可得.

(Ⅰ)法一：

由得，

当时，，即，

又，当时符合上式，所以通项公式为.

法二：

由得

从而有，

所以等比数列公比，首项，因此通项公式为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

，

.

【点睛】

本题主要考查数列前n项和与通项公式的关系，裂项求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

【题型】解答题
【结束】
18

四棱锥S－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2BC＝2CD＝2，△SAD为正三角形．

（Ⅰ）点M为棱AB上一点，若BC∥平面SDM，AM＝λAB，求实数λ的值；

（Ⅱ）若BC⊥SD，求二面角A－SB－C的余弦值．

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（2017北京）已知等差数列和等比数列满足， ， ．

（1）求的通项公式；

（2）求和： ．

【答案】（1）；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据等差数列的， ，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式；（2）利用已知条件根据题意列出关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，求出数列的通项公式，然后利用等比数列求和公式求解即可.

（1）设等差数列{an}的公差为d.　　 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.

所以an=2n−1.

（2）设等比数列的公比为q.　　 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.

解得q2=3.所以.

从而.

【题型】解答题
【结束】
18

已知命题：实数满足，其中；命题：方程表示双曲线．

（1）若，且为真，求实数的取值范围；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

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已知等差数列{an}满足a3＝2，前3项和S3＝.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a15，求{bn}的前n项和Tn.

【答案】（1）an＝.（2）Tn＝2n－1.

【解析】试题分析:(1)根据等差数列的基本量运算解出和,代入公式算出等差数列的通项公式;(2)计算出等比数列的首项和公比,代入求和公式计算.

试题解析:

(1)设{an}的公差为d，由已知得

解得a1＝1，d＝，

故{an}的通项公式an＝1＋，即an＝.

(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8.

设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，

故{bn}的前n项和Tn＝＝2n－1.

点睛:本题考查等差数列的基本量运算求通项公式以及等比数列的前n项和,属于基础题. 在数列求和中，最常见最基本的求和就是等差数列、等比数列中的求和，这时除了熟练掌握求和公式外还要熟记一些常见的求和结论，再就是分清数列的项数，比如题中给出的,以免在套用公式时出错．

【题型】解答题
【结束】
20

设不等式mx2－2x－m＋1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．

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已知数列满足=-1，，数列满足

（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式.

（2）求证：当时，

（3）设数列的前项和为，求证：当时，.

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（本题满分13分）已知数列满足=-1，，数列

满足

（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式.

（2）求证：当时，

（3）设数列的前项和为，求证：当时，.

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已知数列满足：，点在直线上，数列满足：且.

（I）求的通项公式；

（II）求证：数列为等比数列；

（3）求的通项公式；并探求数列的前和的最小值

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已知数列满足：，（），数列满足：，（），数列的前项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）求证：数列是递增数列；若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围．

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已知数列{}满足，且

（1）求证：数列{}是等差数列；

（2）求数列{}的通项公式；

（3）设数列{}的前项之和，求证：．

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已知数列满足,．

（1）求证：数列是等比数列，并求出通项公式；

（2）若数列设是数列的前项和，求证：．

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