已知函数 f(x)＝
在[1，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围.
【解析】本试题考查了导数在研究函数中的运用。根据函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，可知导函数在给定区间恒小于等于零，f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．然后利用φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，从而得到a≥e
f ′(x)＝
＝
，因为 f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故 f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e，
高三数学解答题简单题
已知函数
（1）若
的极值点，求实数a的值；
（2）若
上为增函数，求实数a的取值范围；
（3）当
有实根，求实数b的最大值。
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。主要是极值的概念和根据单调区间，求解参数的取值范围，以及利用函数与方程的思想求解参数b的最值。
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已知函数 f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，求实数a的取值范围.
【解析】本试题考查了导数在研究函数中的运用。根据函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，可知导函数在给定区间恒小于等于零，f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．然后利用φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，从而得到a≥e
f ′(x)＝＝，因为 f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故 f ′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e，
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已知函数
的图象过点（-1，-6），且函数
的图象关于y轴对称.
（1）求
、
的值及函数
的单调区间；
（2）若函数
在（-1，1）上单调递减，求实数
的取值范围。
【解析】本试题主要考查了导数在函数研究中的应用。利用导数能求解函数的单调性和奇偶性问题，以及能根据函数单调区间，逆向求解参数的取值范围的求解问题。要利用导数恒小于等于零来解得 。
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已知函数f（x）=
，
为常数。
（I）当=1时，求f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，求的取值范围。
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问中，利用当a=1时，f（x）=
，则f（x）的定义域是
然后求导，
，得到由
，得0＜x＜1；由
，得x＞1；得到单调区间。第二问函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，则
或
在区间[1，2]上恒成立，即即
，或
在区间[1，2]上恒成立，解得a的范围。
（1）当a=1时，f（x）=，则f（x）的定义域是
。
由，得0＜x＜1；由，得x＞1；
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，
上是减函数。……………6分
（2）
。若函数f（x）在区间[1，2]上为单调函数，
则或在区间[1，2]上恒成立。∴
，或
在区间[1，2]上恒成立。即，或在区间[1，2]上恒成立。
又h（x）=
在区间[1，2]上是增函数。h（x）max=（2）=
，h（x）min=h（1）=3
即
，或
。 ∴
，或
。
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已知
，函数
（其中
为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求函数
在区间
上的最小值；
（Ⅱ）设数列
的通项
，
是前项和，证明：
．
【解析】本试题主要考查导数在研究函数中的运用，求解函数给定区间的最值问题，以及能结合数列的相关知识，表示数列的前n项和，同时能构造函数证明不等式的数学思想。是一道很有挑战性的试题。
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已知函数
（I） 讨论f（x）的单调性；
（II） 设f（x）有两个极值点
若过两点
的直线I与x轴的交点在曲线
上，求α的值。
【解析】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一就是三次函数，通过求解导数，求解单调区间。另外就是运用极值的概念，求解参数值的运用。
【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，，这一点对于同学们来说没有难度但是解决的关键还是要看导数的符号的实质不变，求解单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。
（1）
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已知函数
[
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若
在区间
上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。
【解析】本试题主要考查运用导数为工具解决函数单调性问题和函数的最值的求解和蕴含用。
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数列
的前n项和。
（1）求证：数列
是等比数列，并求
的通项公式；
（2）如果对任意
恒成立，求实数k的取值范围。
【解析】本试题主要是考查了等比数列的定义的运用，以及运用递推关系求解数列通项公式的运用，并且能借助于数列的和，放缩求证不等式的综合试题。
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已知函数
的图像上两相邻最高点的坐标分别为
和
．（Ⅰ）求
与
的值；（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，且
求
的取值范围．
【解析】本试题主要考查了三角函数的图像与性质的综合运用。
第一问中，利用
所以由题意知：
，
；第二问中，，即
，又
，
则
，解得
，
所以
结合正弦定理和三角函数值域得到。
【解析】
（Ⅰ），
所以由题意知：，；
（Ⅱ），即，又，
则，解得，
所以
因为
，所以
，所以
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已知函数
，曲线
在
处的切线经过点
.
（1）证明： 
；
（2）若当
时， 
，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2) 
.
【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率为
，再根据切线过点，解得
导数可得导函数零点，列表分析导函数符号变号规律可得函数单调性，根据函数单调性可得函数最小值为0，即得结论，（2）先化简不等式为
，分离得
，再利用导数求函数
单调性，利用罗伯特法则求最大值，即得的取值范围.
（1）曲线在处的切线为
，即
由题意得
，解得
所以
从而
因为当
时， 
，当
时， 
.
所以
在区间
上是减函数，区间
上是增函数，
从而
.
（2）由题意知，当时， 
，所以
从而当时， 
，
由题意知
，即，其中
设
，其中
设
，即
，其中
则
，其中
（1）当
时，因为时， 
，所以
是增函数
从而当时， 
，
所以
是增函数，从而
.
故当时符合题意.
（2）当
时，因为
时， 
，
所以在区间
上是减函数
从而当时， 
所以在上是减函数，从而
故当时不符合题意.
（3）当
时，因为时， 
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