已知抛物线,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,直线的斜率为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)与圆相切的直线,与抛物线交于两点,若在抛物线上存在点,使,求的取值范围.
高三数学解答题中等难度题
已知抛物线,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,直线的斜率为2.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)与圆相切的直线,与抛物线交于两点,若在抛物线上存在点,使,求的取值范围.
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已知抛物线的方程为,过点(为常数)作抛物线的两条切线,切点分别为,.
(1)过焦点且在轴上截距为的直线与抛物线交于,两点,,两点在轴上的射影分别为,,且,求抛物线的方程;
(2)设直线,的斜率分别为,.求证:为定值.
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已知点(),过点作抛物线的切线,切点分别为、(其中).
(Ⅰ)若,求与的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若以点为圆心的圆与直线相切,求圆的方程;
(Ⅲ)若直线的方程是,且以点为圆心的圆与直线相切,
求圆面积的最小值.
【解析】本试题主要考查了抛物线的的方程以及性质的运用。直线与圆的位置关系的运用。
中∵直线与曲线相切,且过点,∴,利用求根公式得到结论先求直线的方程,再利用点P到直线的距离为半径,从而得到圆的方程。
(3)∵直线的方程是,,且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径,即,借助于函数的性质圆面积的最小值
(Ⅰ)由可得,. ------1分
∵直线与曲线相切,且过点,∴,即,
∴,或, --------------------3分
同理可得:,或----------------4分
∵,∴,. -----------------5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,则的斜率,
∴直线的方程为:,又,
∴,即. -----------------7分
∵点到直线的距离即为圆的半径,即,--------------8分
故圆的面积为. --------------------9分
(Ⅲ)∵直线的方程是,,且以点为圆心的圆与直线相切∴点到直线的距离即为圆的半径,即, ………10分
∴
,
当且仅当,即,时取等号.
故圆面积的最小值.
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已知圆,圆心在抛物线上,圆过原点且与的准线相切.
(1)求抛物线的方程;
(2)设点,点(与不重合)在直线上运动,过点作的两条切线,切点分别为,求证:.
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已知圆, 在抛物线上,圆过原点且与的准线相切.
(Ⅰ) 求的方程;
(Ⅱ) 点,点(与不重合)在直线上运动,过点作的两条切线,切点分别为, .求证: (其中为坐标原点).
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已知圆, 在抛物线上,圆过原点且与的准线相切.
(Ⅰ) 求的方程;
(Ⅱ) 点,点(与不重合)在直线上运动,过点作的两条切线,切点分别为, .求证: (其中为坐标原点).
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已知圆,圆心在抛物线上,圆过原点且与的准线相切.
(1)求抛物线的方程;
(2)点,点(与不重合)在直线上运动,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,求证:.
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设点为抛物线外一点,过点作抛物线的两条切线,,切点分别为,.
(Ⅰ)若点为,求直线的方程;
(Ⅱ)若点为圆上的点,记两切线,的斜率分别为,,求的取值范围.
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设点为抛物线外一点,过点作抛物线的两条切线,,切点分别为,.
(Ⅰ)若点为,求直线的方程;
(Ⅱ)若点为圆上的点,记两切线,的斜率分别为,,求的取值范围.
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如图,已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在轴正半轴上,准线与轴的交点为.过点作圆的两条切线,两切点分别为,,且.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)如图,过抛物线的焦点任作两条互相垂直的直线,,分别交抛物线于,两点和,两点,,分别为线段和的中点,求面积的最小值.
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