设数列为等差数列，且，若．记，则数列的前21项和为 ．

若数列满足：对于任意均为数列中的项，则称数列为“ 数列”．

（1）若数列的前项和，求证：数列为“ 数列”；

（2）若公差为的等差数列为“ 数列”，求的取值范围；

（3）若数列为“ 数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．

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（本小题16分）已知数列的各项均为正数，数列，满足，．

（1）若数列为等比数列，求证：数列为等比数列；

（2）若数列为等比数列，且，求证：数列为等比数列．

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（本小题16分）已知数列的各项均为正数，数列，满足，．

（1）若数列为等比数列，求证：数列为等比数列；

（2）若数列为等比数列，且，求证：数列为等比数列．

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已知等比数列的公比为，记，，，则以下结论一定正确的是（　　）

A．数列为等差数列，公差为         B．数列为等比数列，公比为

C．数列为等比数列，公比为         D．数列为等比数列，公比为

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已知等比数列的公比为q，记

，则以下结论一定正确的是（    ）

A．数列为等差数列，公差为     B．数列为等比数列，公比为

C．数列为等比数列，公比为    D．数列为等比数列，公比为

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定义：数列对一切正整数均满足，称数列为“凸数列”，以下关于“凸数列”的说法：

①等差数列一定是凸数列；

②首项，公比且的等比数列一定是凸数列；

③若数列为凸数列，则数列是单调递增数列；

④若数列为凸数列，则下标成等差数列的项构成的子数列也为凸数列．

其中正确说法的序号是_____________．

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设数列中，若，则称数列为“凸数列”．

（Ⅰ）设数列为“凸数列”，若，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；

（Ⅱ）在“凸数列”中，求证：；

（Ⅲ）设，若数列为“凸数列”，求数列前项和．

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若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”.

（Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；

（Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，；

（Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在，数列为等差数列.

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对于各项均为正数的无穷数列，记，给出下列定义：

①若存在实数，使成立，则称数列为“有上界数列”；

②若数列为有上界数列，且存在，使成立，则称数列为“有最大值数列”；

③若，则称数列为“比减小数列”．

（1）根据上述定义，判断数列是何种数列？

（2）若数列中，，，求证：数列既是有上界数列又是比减小数列；

（3）若数列是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：，．

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已知数列中，前项和为，若对任意的，均有（是常数，且）成立，则称数列为“数列”.

（1）若数列为“数列”，求数列的前项和；

（2）若数列为“数列”，且为整数，试问：是否存在数列，使得对一切，恒成立？如果存在，求出这样数列的的所有可能值，如果不存在，请说明理由；

（3）若数列为“数列”，且，证明：.

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