定义在上的函数，当时，，且对任意的 ,有，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：对任意的，恒有；（Ⅲ）...

定义在上的函数，当时，，且对任意的 ,有，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：对任意的，恒有；

（Ⅲ）证明：是上的增函数.

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已知是定义在上的函数，且满足下列条件：

①对任意的，；②当时，.

（1）证明是定义在上的减函数；

（2）如果对任意实数，有恒成立，求实数的取值范围。

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设函数的定义域为，对任意的实数都有；当时，，且.（1）判断并证明在上的单调性；

（2）若数列满足：，且，证明：对任意的，

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定义在上的函数，当时，，且对任意的 ,有，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：对任意的，恒有；

（Ⅲ）若，求的取值范围.

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（本小题满分14分）已知函数，其中为实数．

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ） 当时，若函数对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围．

（Ⅲ）证明，对于任意的正整数，不等式恒成立．

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设函数，其中．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）当时，求函数的极值点

（Ⅲ）证明：对任意的正整数 ，不等式都成立．

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设函数，其中．

（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（Ⅱ）当时，求函数的极值点

（Ⅲ）证明：对任意的正整数，不等式都成立．

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已知函数的定义域为，且对任意，都有．且当时，恒成立，．

（1）证明：函数是上的减函数；

（2）证明:函数是奇函数；

（3）试求函数在上的值域．

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设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件：

（1）任意，有，当时，且；

（2）；

（3），

试求：（1）证明：任意， ，都有；

（2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由． （阶乘定义：）

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设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时， .

（1）求证： 是周期函数；

（2）当时，求的解析式；

（3）计算.

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