在平面直角坐标系中,椭圆:的上顶点为,左、右焦点分别为,,直线的斜率为,点,在椭圆上,其中是椭圆上一动点,点坐标为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)作直线与轴垂直,交椭圆于,两点(,两点均不与点重合),直线,与轴分别交于点,,试求的最小值.
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已知为坐标原点,过点的直线与抛物线:交于,两点,且.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作直线交抛物线于,两点,记,的面积分别为,,证明:为定值.
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已知椭圆C: (a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为.直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.
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已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若有两个零点,求的取值范围.
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在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg) | 300 | 500 |
概率 | 0.5 | 0.5 |
作物市场价格(元/kg) | 6 | 10 |
概率 | 0.4 | 0.6 |
(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
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已知数列的前项和满足.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和;若对恒成立,求实数最小值.
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已知直线所经过的定点恰好是椭圆的一个焦点,且椭圆上的点到点的最大距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知圆,直线.试证明当点在椭圆上运动时,直线与圆恒相交;并求直线被圆所截得的弦长的取值范围.
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设点为抛物线外一点,过点作抛物线的两条切线,,切点分别为,.
(Ⅰ)若点为,求直线的方程;
(Ⅱ)若点为圆上的点,记两切线,的斜率分别为,,求的取值范围.
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已知椭圆的焦距为,且过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知,是否存在使得点关于的对称点(不同于点)在椭圆上?若存在求出此时直线的方程,若不存在说明理由.
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平面直角坐标系中,已知椭圆,抛物线的焦点是的一个顶点,设是上的动点,且位于第一象限,记在点处的切线为.
(1)求的值和切线的方程(用表示)
(2)设与交于不同的两点,线段的中点为,直线与过且垂直于轴的直线交于点.
(i)求证:点在定直线上;
(ii)设与轴交于点,记的面积为,的面积为,求的最大值.
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