已知设函数.
(1)若,求极值;
(2)证明:当,时,函数在上存在零点.
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已知椭圆:的短轴端点为,,点是椭圆上的动点,且不与,重合,点满足,.
(Ⅰ)求动点的轨迹方程;
(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
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如图,在平面图形中,为菱形,,为的中点,将沿直线向上折起,使.
(1)求证:平面平面;
(2)若直线与平面所成的角为,求四棱锥的体积.
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国家每年都会对中小学生进行体质健康监测,一分钟跳绳是监测的项目之一.今年某小学对本校六年级300名学生的一分钟跳绳情况做了统计,发现一分钟跳绳个数最低为10,最高为189.现将跳绳个数分成,,,,,6组,并绘制出如下的频率分布直方图.
(1)若一分钟跳绳个数达到160为优秀,求该校六年级学生一分钟跳绳为优秀的人数;
(2)上级部门要对该校体质监测情况进行复查,发现每组男、女学生人数比例有很大差别,组男、女人数之比为,组男、女人数之比为,组男、女人数之比为,组男、女人数之比为,组男、女人数之比为,组男、女人数之比为.试估计此校六年级男生一分钟跳绳个数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,结果保留整数).
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已知数列为等差数列,,且依次成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,数列的前项和为,若,求的值.
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已知,,且.
(1)若恒成立,求的取值范围;
(2))若恒成立,求的取值范围.
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在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以为极点,以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线相交于两点,求的值.
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已知函数.
(1)若,求实数的值;
(2)求证:.
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已知椭圆的上顶点为,以为圆心椭圆的长半轴为半径的圆与轴的交点分别为,.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设不经过点的直线与椭圆交于,两点,且,试探究直线是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标,若不过定点,请说明理由.
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在四棱锥中,底面是直角梯形,,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)若三棱锥的体积为,求的长.
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