数列中，为前项和，且（1）求证：是等差数列（2）若是的前项和，求

（本小题满分16分）若数列满足①，②存在常数与无关），使.则称数列是“和谐数列”.

（1）设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列”；

（2）设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列”的充要条件为.

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数列中，为前项和，且

（1）求证：是等差数列

（2）若是的前项和，求

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设是首项为，公比为的等比数列， 为数列的前项和.

（1）已知，且是的等差中项，求数列的通项公式；

（2）当时，令，求证：数列是等差数列.

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设是首项为，公比为的等比数列， 为数列的前项和.

（1）已知，且是的等差中项，求数列的通项公式；

（2）当时，令，求证：数列是等差数列.

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设数列满足；

(1)若，求证：数列为等比数列；

(2)在(1)的条件下，对于正整数，若这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组；

(3)若是的前项和，求不超过的最大整数.

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已知函数（其中且），是的反函数.

（1）已知关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围；

（2）当时，讨论函数的奇偶性和增减性；

（3）设，其中.记，数列的前项的和为（），

求证：.

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对于无穷数列，，若－…，则称是的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.

（1）若，求的前项和；

（2）证明：的“收缩数列”仍是；

（3）若，求所有满足该条件的.

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对于无穷数列，，若－…，则称是的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.

（1）若，求的前项和；

（2）证明：的“收缩数列”仍是；

（3）若，求所有满足该条件的.

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已知数列的前项和满足，且是的等差中项，是等差数列，.

（1）求数列的通项公式；

（2），求数列的前项和.

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已知等差数列中， ，数列中， .

（1）分别求数列的通项公式；

（2）定义， 是的整数部分， 是的小数部分，且.记数列满足，求数列的前项和.

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