设正数数列
为等比数列，
，记
.
（1）求
和
；
（2）证明: 对任意的
，有
成立.
高二数学解答题困难题
设正数数列为等比数列，，记.
（1）求和；
（2）证明: 对任意的，有成立.
高二数学解答题困难题
设正数数列为等比数列，，记.
（1）求和；
（2）证明: 对任意的，有成立.
高二数学解答题困难题查看答案及解析
设正数数列
为等比数列，
。
（1）求
（2）记
,证明: 对任意的
,有
成立.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知递增等差数列
满足：
，且
成等比数列．
（1）求数列的通项公式
；
（2）若不等式
对任意
恒成立，试猜想出实数
的最小值，并证明．
【解析】本试题主要考查了数列的通项公式的运用以及数列求和的运用。第一问中，利用设数列公差为
，
由题意可知
，即
，解得d，得到通项公式，第二问中，不等式等价于
，利用当
时，
；当
时，
；而
，所以猜想，的最小值为
然后加以证明即可。
【解析】
（1）设数列公差为，由题意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等价于，
当时，；当时，；
而，所以猜想，的最小值为． …………8分
下证不等式
对任意恒成立．
方法一：数学归纳法．
当时，
，成立．
假设当
时，不等式
成立，
当
时，
， …………10分
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，只要证 
，
只要证 
，显然成立．所以，对任意，不等式恒成立．…14分
方法二：单调性证明．
要证
只要证 
，
设数列
的通项公式
， …………10分
， …………12分
所以对
，都有
，可知数列为单调递减数列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值为．
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（14分）已知定义在
上的函数
满足：
，且对于任意实数
，总有
成立．
（1）求
的值，并证明函数为偶函数；
（2）若数列
满足
，求证：数列为等比数列；
（3）若对于任意非零实数
，总有
．设有理数
满足
，判断
和
的大小关系，并证明你的结论．
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已知数列
满足：
，令
．
（I）求
和
；
（II）
为数列
的前
项和，对任意的正整数，不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
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已知函数
,为正整数.
(Ⅰ)求
和
的值;
(Ⅱ)数列的通项公式为
(
),求数列的前项和
;
(Ⅲ) (4分)设数列满足:
,
,设
,若(Ⅱ)中的满足：对任意不小于3的正整数n,
恒成立,试求m的最大值.
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现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；
②由“若数列
为等差数列，则有
成立”类比 “若数列
为等比数列，则有
成立”，则得出的两个结论
A. 只有①正确 B. 只有②正确
C. 都正确 D. 都不正确
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在数列
中，对于任意
，若存在常数
，使得
恒成立，则称数列为
阶数列。现给出下列三个结论：
①若
，则数列为1阶数列；
②若
，则数列为2数列；
③若
，则数列为3数列；以上结论正确的序号是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
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若数列对任意的正整数和
等式
都成立，则称数列为阶梯等比数列．若是
阶梯等比数列有
，则
．
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设数列
的各项都为正数，其前
项和为
，已知对任意
，是
和
的等差中项．
（Ⅰ）证明数列为等差数列，并求数列
的通项公式；
（Ⅱ）证明
．
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