已知
为棱长
的正方体， 
为棱
的中点.
（1）求三棱锥
的体积；
（2）求证： 
平面
.
【答案】（1）
;（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）高为ED,再根据锥体体积公式计算体积（2）连接
交
于点
，根据三角形中位线性质得
，再根据线面平行判定定理得结论
（1）体积
（2）连接交于点，则
为
的中位线，即，
又
面， 
面，得到
平面.
【题型】解答题
【结束】
18
已知抛物线
： 
的焦点
为圆
的圆心.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若斜率
的直线
过抛物线的焦点与抛物线相交于
两点，求弦长
.
高二数学解答题中等难度题
已知为棱长的正方体， 为棱的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求证： 平面.
【答案】（1）;（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）高为ED,再根据锥体体积公式计算体积（2）连接交于点，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论
（1）体积
（2）连接交于点，则为的中位线，即，
又面， 面，得到 平面.
【题型】解答题
【结束】
18
已知抛物线： 的焦点为圆的圆心.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若斜率的直线过抛物线的焦点与抛物线相交于两点，求弦长.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形， 
， 
， 
， 
底面.
（1）求证： 
平面
；
（2）若
为 的中点，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2) 
【解析】试题分析：（1）根据三角形的边长关系得到BD=3， 
， 
，根据线面垂直的性质得到
，进而得到线面垂直;（2）建立空间坐标系得到直线的方向向量，和面的法向量，再由向量的夹角公式得到线面角.
解析：
（1）在
中由余弦定理得
，∴
，即
又 底面 ，
所以， ，又
所以， 平面.
（2）以
为原点，分别以
、
、
为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系，则
， 
， 
， 
， 
所以， 
， 
， 
.
设平面 的法向量为
由
， 
，得
，
令
得
， 
，即
设直线 与平面 所成角为
，
则
【题型】解答题
【结束】
19
已知函数
， 
.
（1）求函数
的最小正周期；
（2）若
，且
，求
的值.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
如图：在四棱锥中，底面为菱形，且
， 
底面，
， 
， 是
上点，且
平面
.
（1）求证： 
；（2）求三棱锥
的体积.
【答案】（1）见解析;（2）
.
【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得对角线相互垂直,根据底面得
,再根据线面垂直判定定理得
面
即可得结果（2）记与的交点为，则BD 为高,三角形POE为底,根据锥体体积公式求体积
（1）
面
（2）记与的交点为，连接
平面 
在
中： ， ， 
， 
在中： 
， 
，则
，即
，
则
【题型】解答题
【结束】
21
已知椭圆： 
的离心率
，且其的短轴长等于
.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，记圆： 
，过定点
作相互垂直的直线和
，直线（斜率
）与圆和椭圆分别交于
、两点，直线与圆和椭圆分别交于、
两点，若
与
面积之比等于
，求直线的方程.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， 
，侧面
底面， 
， 
， ， 分别为
， 
的中点，点在线段
上．
（1）求证： 
平面；
（2）如果三棱锥
的体积为
，求点到面
的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
．
【解析】试题分析：
（1）在平行四边形中，得出
，进而得到
，证得底面，得出
，进而证得平面．
（2）由到面
的距离为
，所以
面， 为中点，即可求解
的值．
证明：（1）在平行四边形中，因为
， ，
所以，由， 分别为， 的中点，得
，所以．
侧面底面，且， 底面．
又因为
底面，所以．
又因为
， 
平面， 
平面，
所以平面．
【解析】
（2）到面的距离为1，所以面， 为中点， ．
【题型】解答题
【结束】
21
已知函数
．
（1）当
时，求函数在点
处的切线方程；
（2）求函数的极值；
（3）若函数在区间
上是增函数，试确定
的取值范围．
高二数学解答题困难题查看答案及解析
如图，在正方体中， 
分别是棱
的中点， 为棱上一点，且异面直线
与
所成角的余弦值为
.
（1）证明： 为的中点；
（2）求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，不妨令正方体的棱长为2，设
，利用
，解得，即可证得；
（2）分别求得平面与平面的法向量
，利用
求解即可.
（1）证明：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨令正方体的棱长为2，
则
， 
， 
， 
， 
，
设，则
， 
，
所以
，
所以
，解得（
舍去），即为的中点.
（2）【解析】
由（1）可得
， 
，
设
是平面的法向量，
则
.令
，得
.
易得平面的一个法向量为
，
所以
.
所以所求锐二面角的余弦值为.
点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
【题型】解答题
【结束】
22
已知椭圆
的短轴长为2，且椭圆过点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线过定点
，且斜率为
，若椭圆上存在
两点关于直线对称， 为坐标原点，求
的取值范围及
面积的最大值.
高二数学解答题困难题查看答案及解析
证明：（Ⅰ）已知
是正实数，且
.求证： 
；
（Ⅱ）已知
，且
， 
， 
.求证： 
中至少有一个是负数.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）利用分析法将要证不等式转化为整式不等式，再约分得已知条件的不等式，即得结论（2）利用反证法，根据不等式性质可得
，即得与已知条件矛盾的条件，即假设不成立
（Ⅰ）因为均为正数，欲证，只要证明
，也即证
，也即证明，这与已知条件相符，且以上每个步骤都可逆，故不等式成立.
（Ⅱ）假设
都是非负数，因
，
故
，又
，
故
，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立.
【题型】解答题
【结束】
24
已知椭圆
的左、右两个焦点分别为
，离心率
，短轴长为2.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点
为椭圆上的一动点（非长轴端点），
的延长线与椭圆交于
点，
的延长线与椭圆交于
点，若
面积为
，求直线
的方程.
高二数学解答题困难题查看答案及解析
在棱长为
的正方体
中,
是线段
的中点,
.
(1) 求证:
^
；
(2) 求证://平面
；
(3) 求三棱锥
的表面积.
【解析】本试题考查了线线垂直和线面平行的判定定理和表面积公式的运用。第一问中，利用
，得到结论，第二问中，先判定
为平行四边形，然后
，可知结论成立。
第三问中，
是边长为
的正三角形，其面积为
，
因为
平面
，所以
，
所以
是直角三角形，其面积为
，
同理
的面积为
， 
面积为
. 所以三棱锥的表面积为
.
解: (1)证明：根据正方体的性质
，
因为
，
所以
，又
，所以，
，
所以^. ………………4分
(2)证明：连接
，因为
，
所以为平行四边形，因此
，
由于是线段的中点，所以， …………6分
因为
面，
平面，所以∥平面. ……………8分
(3)是边长为的正三角形，其面积为，
因为平面，所以，
所以是直角三角形，其面积为，
同理的面积为， ……………………10分
面积为. 所以三棱锥的表面积为
高二数学解答题简单题查看答案及解析
已知数列
的前
项和为
，并且满足
， 
.
（1）求数列 通项公式；
（2）设
为数列
的前 项和，求证： 
.
【答案】(1) 
(2)见解析
【解析】试题分析：（1）根据题意得到， 
，两式做差得到；（2）根据第一问得到
，由错位相减法得到前n项和，进而可证和小于1.
解析：
（1）∵
当
时，
当
时， 
，即
∴数列 时以 为首项， 
为公差的等差数列.
∴
.
（2）∵
∴
①
②
由①
②得
∴
点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和
的关系，求表达式，一般是写出
做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.
【题型】解答题
【结束】
22
已知
， 
分别是椭圆 ： 
（
）的左、右焦点， 是椭圆 上的一点，且
，椭圆 的离心率为
.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 ： 
与椭圆 交于不同两点 ， ，椭圆 上存在点
，使得以
， 
为邻边的四边形
为平行四边形（ 为坐标原点）.
（ⅰ）求实数
与 的关系；
（ⅱ）证明：四边形 的面积为定值.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知曲线
在点
处的切线为
，其中
.
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求证：直线和曲线
一定有两个不同的公共点.
【答案】(Ⅰ) 直线
;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，分别求出
，
，即可求得直线的方程；（Ⅱ）联立直线与曲线的方程，令
，利用导数研究函数的单调性，即可判断函数
零点的个数，从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.
（I）因为
所以直线的斜率
所以直线的方程为
化简得到
(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得
所以
所以
令
所以
，
令
，得到得
，
当
时，
的变化情况如下表
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
|
| 极大 |
| 极小 |
|
因为
时，
，而
（或者说：
时，
），
所以在
上有一个零点
而
时，
，所以在
上只有一个零点
又在
上没有零点
所以只有两个不同的零点，即直线和曲线有两个不同的公共点.
【题型】解答题
【结束】
18
已知函数
，其中常数
.
（Ⅰ）若函数为单调函数，求实数
的最大值；
（Ⅱ）如果函数只有一个零点，求实数的取值范围.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
已知曲线在点处的切线为，其中.
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求证：直线和曲线一定有两个不同的公共点.
【答案】(Ⅰ) 直线 ;(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，分别求出，，即可求得直线的方程；（Ⅱ）联立直线与曲线的方程，令，利用导数研究函数的单调性，即可判断函数零点的个数，从而可证直线和曲线一定有两个不同的公共点.
（I）因为
所以直线的斜率
所以直线的方程为
化简得到
(Ⅱ)把曲线和直线的方程联立得
所以
所以
令
所以，
令，得到得，
当时，的变化情况如下表
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| 0 |
|
|
|
| 极大 |
| 极小 |
|
因为时，，而
（或者说：时，），
所以在上有一个零点
而时，，所以在上只有一个零点
又在上没有零点
所以只有两个不同的零点，即直线和曲线有两个不同的公共点.
【题型】解答题
【结束】
18
已知函数
，其中常数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果函数没有零点，求实数的取值范围.
高二数学解答题中等难度题查看答案及解析
