(本小题满分13分)已知数列的前项和为,且(其中是不为零的常数),.
(Ⅰ)证明:数列是等比数列;
(Ⅱ)当=1时,数列求数列的通项公式.
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(本大题满分14分)
已知数列和满足:,,,其中为实数,为正整数.
(Ⅰ)对任意实数,证明:数列不是等比数列;
(Ⅱ)证明:当时,数列是等比数列;
(Ⅲ)设(为实常数), 为数列的前项和.是否存在实数,使得对任意正整数,都有?若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
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(本小题满分15分)已知数列中,(实数为常数),,是其前项和,且.数列是等比数列,,恰为与的等比中项.
(Ⅰ)证明:数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)若,当时,的前项和为,求证:对任意,都有.
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(本小题满分13分)已知数列的前项和为,且(其中是不为零的常数),.
(Ⅰ)证明:数列是等比数列;
(Ⅱ)当=1时,数列求数列的通项公式.
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(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,,,,其中为常数,
(I)证明:;
(II)是否存在,使得为等差数列?并说明理由.
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(本小题满分12分)
设同时满足条件:①;②(,是与无关的常数)的无穷数列叫“嘉文”数列.已知数列的前项和满足:(为常数,且,).
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,若数列为等比数列,求的值,并证明此时为“嘉文”数列.
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(本题满分16分)设数列的前项和为
(1)若数列是首项为1,公比为2的等比数列,求常数的值,使对一切大于零的自然数都成立
(2)若数列是首项为,公差的等差数列,证明:存在常数使得对一切大于零的自然数都成立,且
(3)若数列满足,,()为常数,且,证明:当时,数列为等差数列
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(本小题满分13分)
设是数列()的前项和,,且,,.
(I)证明:数列()是常数数列;
(II)试找出一个奇数,使以18为首项,7为公比的等比数列()中的所有项都是数列中的项,并指出是数列中的第几项.
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(本小题满分12分)已知数列的前项和为,.满足(为常数,且).
(1)求数列的通项公式;
(2)设,当时,求数列的前项和.
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(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知数列中,,,的前项和为,且满足().
(1)试求数列的通项公式;
(2)令,是数列的前项和,证明:;
(3)证明:对任意给定的,均存在,使得当时,(2)中的恒成立.
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(本小题满分14分)
已知数列的前项和满足:,为常数,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,设,且数列的前项和为,求证:.
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