给出定理：在圆锥曲线中，是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为....

给出定理：在圆锥曲线中，是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为.若两点纵坐标之差的绝对值，则的面积，试运用上述定理求解以下各题：

（1）若，所在直线的方程为，是的中点，过且平行于轴的直线与抛物线的交点为，求；

（2）已知是抛物线的一条弦，是的中点，过点且平行于轴的直线与抛物线的交点为，分别为和的中点，过且平行于轴的直线与抛物线分别交于点，若两点纵坐标之差的绝对值，求和；

（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线：与弦围成成的“弓形”的面积，并求出相应面积.

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已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；

（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

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已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；

（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

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已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；

（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

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已知平行六面体，与平面，交于两点。给出以下命题，其中真命题有________(写出所有正确命题的序号)

①点为线段的两个三等分点；

②；

②设中点为，的中点为，则直线与面有一个交点；

④为的内心；

⑤设为的外心，则为定值.

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在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于不同的两点，，若是的中点，求直线的斜率.

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在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于不同的两点，，若是的中点，求直线的斜率.

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过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点，

（1）若线段中点的横坐标为3，求的值；

（2）求的取值范围.

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过点的直线与抛物线交于，两点，是的焦点，

（1）若线段中点的横坐标为3，求的值；

（2）求的取值范围.

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已知抛物线，为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，、分别为、在上的射影，为的中点，给出下列命题：

（1）；（2）；（3）；

（4）与的交点的轴上；（5）与交于原点.

其中真命题的序号为_________.

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