已知数列，若对任意的，，，存在正数使得，则称数列具有守恒性质，其中最小的称为数列的守恒数，...

已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，，其中，常数．

（1）求证：是一个定值；

（2）若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有成立，则称为周期数列，为它的一个周期），求该数列的最小周期；

（3）若数列是各项均为有理数的等差数列，（），问：数列中的所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．

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已知无穷数列的各项都是正数，其前项和为，且满足：，，其中，常数．

（1）求证：是一个定值；

（2）若数列是一个周期数列（存在正整数，使得对任意，都有成立，则称为周期数列，为它的一个周期），求该数列的最小周期；

（3）若数列是各项均为有理数的等差数列，（），问：数列中的所有项是否都是数列中的项？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．

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已知含有个元素的正整数集（， ）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．

（Ⅰ）写出， 的值；

（Ⅱ）证明：“， ，…， 成等差数列”的充要条件是“”；

（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．

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已知数列，若对任意的，，，存在正数使得，则称数列具有守恒性质，其中最小的称为数列的守恒数，记为.

（1）若数列是等差数列且公差为，前项和记为.

①证明：数列具有守恒性质，并求出其守恒数.

②数列是否具有守恒性质？并说明理由.

（2）若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质，且，求公比值的集合.

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给定有限单调递增数列,数列至少有两项)且

,定义集合.若对任意点,

存在点使得为坐标原点),则称数列具有性质.

(1)给出下列四个命题,其中正确的是　　　　　　 .(填上所有正确命题的序号)

①数列-2,2具有性质;

②数列:-2,-1,1,3具有性质;

③若数列具有性质,则中一定存在两项,使得;

④若数列具有性质,且,则.

(2)若数列只有2014项且具有性质,则的所有项和　　　　 .

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如果数列满足“对任意正整数，都存在正整数，使得 ”，则称数列具有“性质”.已知数列是无穷项的等差数列，公差为

（Ⅰ）若，公差，判断数列是否具有“性质”，并说明理由；

（Ⅱ）若数列具有“性质”，求证：且；

（Ⅲ）若数列具有“性质”，且存在正整数，使得，这样的数列共有多少个？并说明理由.

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已知各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足（其中为常数）， .数列满足.

（1）证明数列是等差数列，并求出的通项公式；

（2）若无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项， 使得，求的公比.

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（本题满分13分）已知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足.

（1）求数列、的通项公式；

（2）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由.

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设是正数组成的数列,.若点在函数的导函数图像上.

(1)求数列的通项公式；

(2)设,是否存在最小的正数,使得对任意都有成立？请说明理由.

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已知数列，其中，数列的前项和，数列满足．

（1）求数列的通项公式；  （2）是否存在自然数，使得对于任意，，有恒成立？若存在，求出的最小值；

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